كيف يمكنك استخدام اختبار المقارنة المحدد للمبلغ 1 / (n + sqrt (n)) لـ n = 1 إلى n = oo؟

إجابة:

#sum_ (ن = 1) ^ oo1 / (ن + الجذر التربيعي (ن)) # يحيد ، وهذا يمكن أن ينظر إليه من خلال مقارنة ذلك #sum_ (ن = 1) ^ oo1 / (2N) #.

تفسير:

نظر ا لأن هذه السلسلة عبارة عن مجموعة من الأرقام الإيجابية ، نحتاج إلى العثور على سلسلة متقاربة #sum_ (ن = 1) ^ (س س) a_n # مثل ذلك #a_n> = 1 / (ن + الجذر التربيعي (ن)) # وخلص إلى أن سلسلة لدينا هي متقاربة ، أو أننا بحاجة إلى إيجاد سلسلة متباعدة من هذا القبيل #a_n <= 1 / (ن + الجذر التربيعي (ن)) # ونختتم سلسلة لدينا لتكون متباينة كذلك.

نلاحظ ما يلي:

إلى عن على

# N> = 1 #, #sqrt (ن) <= ن #.

وبالتالي

# ن + الجذر التربيعي (ن) <= 2N #.

وبالتالي

# 1 / (ن + الجذر التربيعي (ن))> = 1 / (2N) #.

لأنه من المعروف جيدا #sum_ (ن = 1) ^ oo1 / ن # يحيد ، لذلك #sum_ (ن = 1) ^ oo1 / (2N) # يحيد كذلك ، لأنه إذا كان سيتقارب ، إذن # 2sum_ (ن = 1) ^ oo1 / (2N) = sum_ (ن = 1) ^ oo1 / ن # سوف تتلاقى كذلك ، وهذا ليس هو الحال.

الآن باستخدام اختبار المقارنة ، نرى ذلك #sum_ (ن = 1) ^ oo1 / (ن + الجذر التربيعي (ن)) # يحيد.

اختبار المقارنة الحد يأخذ سلسلتين ، # # suma_n و # # sumb_n أين #a_n> = 0 #, # # b_ngt0.

إذا #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = L # أين #L> 0 # ومحدودة ، ثم تتقارب كلتا المجموعتين أو تتباعد كلتا المجموعتين.

يجب علينا السماح # a_n = 1 / (ن + sqrtn) #، التسلسل من سلسلة معينة. جيد # # b_n الاختيار هو وظيفة تغلب ذلك # # a_n النهج كما # ن # تصبح كبيرة. لذا دع # b_n = 1 / ن #.

لاحظ أن # # sumb_n يحيد (انها سلسلة التوافقي).

لذلك ، نحن نرى ذلك #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = lim_ (nrarroo) (1 / (ن + sqrtn)) / (1 / ن) = lim_ (nrarroo) ن / (ن + sqrtn) #. الاستمرار بالتقسيم عبر # ن / ن #، هذا يصبح #lim_ (nrarroo) 1 / (1 + 1 / sqrtn) = 1/1 = 1 #.

منذ الحد هو #1#، الذي #>0# ومحددة ، ونحن نرى ذلك # # suma_n و # # sumb_n سوف تتباعد أو تتقارب. لأننا نعرف بالفعل في # # sumb_n يحيد ، يمكننا أن نستنتج ذلك # suma_n = sum_ (ن = 1) ^ oo1 / (ن + sqrtn) # يحيد كذلك.