حل (y + 2 / y) ^ 2 + 3y + 6 / y = 4؟

إجابة:

#y = -2 + -sqrt (2) ، "" 1/2 + - (sqrt (7) i) / 2 #

تفسير:

معطى: # (y + 2 / y) ^ 2 + 3y + 6 / y = 4 #

هذه هي طريقة واحدة لحلها. استعمال # (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #

# y ^ 2 + 2 إلغاء (ص) (2 / إلغاء (ص)) + 4 / y_2 + 3y + 6 / y = 4 #

# y ^ 2 + 4 + 4 / y_2 + 3y + 6 / y = 4 #

اضرب كلا الجانبين ب # ص ^ 2 # للقضاء على الكسور:

# y ^ 4 + 4y ^ 2 + 4 + 3y ^ 3 + 6y = 4y ^ 2 #

إضافة مثل الشروط وترتيب تنازلي:

# y ^ 4 + 3y ^ 3 + 6y + 4 = 0 #

عامل:

لا يمكن استخدام العوملة الجماعية.

استعمال # (y ^ 2 + ay + b) (y ^ 2 + cy + d) = y ^ 4 + 3y ^ 3 + 6y + 4 #

# y ^ 4 + (a + c) y ^ 3 + (d + ac + b) y ^ 2 + (ad + bc) y + bd = y ^ 4 + 3y ^ 3 + 6y + 4 #

حل النظام:

#a + c = 3 "" # معامل # ص ^ 3 # مصطلح

#d + ac + b = 0 "" # لأنه لا يوجد # ص ^ 2 # مصطلح

#ad + bc = 6 "" # معامل # ذ # مصطلح

#bd = 4 #

ابدأ بإمكانيات #bd = (2 ، 2) ، (4 ، 1) ، (1 ، 4) #

إذا # ب = 2 ، د = 2 #، ثم من المعادلة الثانية: #ac = -4 #

محاولة #a = -1 ، c = 4 "" # يعمل لجميع المعادلات!

الحسبان: # "" (y ^ 2 - y + 2) (y ^ 2 + 4y + 2) = 0 #

حل كل ثلاثي الحدود إما بإكمال المربع أو باستخدام الصيغة التربيعية:

# y ^ 2 - y + 2 = 0؛ "" y ^ 2 + 4y + 2 = 0 #

#y = (1 + - sqrt (1-4 (1) (2))) / 2؛ "" y = (-4 + - sqrt (16-4 (1) (2))) / 2 #

#y = (1 + - sqrt (7) i) / 2؛ "" y = -2 + -sqrt (8) / 2 = -2 + - sqrt (2) #

إجابة:

# y_1 = (1 + isqrt7) / 2 #, # y_2 = (1-isqrt7) / 2 #, # y_3 = -2 + sqrt2 # و # y_4 = -2-sqrt2 #

تفسير:

# (ص + 2 / ص) ^ 2 + 3Y + 6 / ص = 4 #

# (ص + 2 / ص) ^ 2 + 3 * (ص + 2 / ذ) = 4 #

بعد الإعداد # س = ص + 2 / ص #، أصبحت هذه المعادلة

# س ^ 2 + 3X = 4 #

# س ^ 2 + 3X-4 = 0 #

# (س + 4) * (س-1) = 0 #، وبالتالي # X_1 = 1 # و # x_2 = -4 #

#ا)# إلى عن على # س = 1 #, # ذ + 2 / ص = 1 #

# ص ^ 2 + 2 = ص #

# ص ^ 2-ص + 2 = 0 #، بناء على ذلك # y_1 = (1 + isqrt7) / 2 # و # y_2 = (1-isqrt7) / 2 #

#ب)# إلى عن على # س = -4 #,

# ذ + 2 / ص = -4 #

# ص ^ 2 + 2 = -4y #

# ص ^ 2 + 4Y + 2 = 0 #، بناء على ذلك # y_3 = -2 + sqrt2 # و # y_4 = -2-sqrt2 #