ما هو مضاد التباين لـ /1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2؟

إجابة:

# 1/2 arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #

تفسير:

حتى هنا لدينا لا يتجزأ:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

ويبدو أن شكل المعاملة بالمثل من الدرجة الثانية يشير إلى أن الاستعاضة المثلثية ستعمل هنا. لذا أكمل المربع أولا للحصول على:

# x ^ 2-2x + 2 = (x-1) ^ 2 + 1 #

ثم تطبيق البديل #u = x-1 # لإزالة الخطي:

# (du) / dx = 1 #

#rArr du = dx #

حتى نتمكن من تغيير المتغيرات بأمان دون أي آثار جانبية غير مرغوب فيها:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = int 1 / ((x-1) ^ 2 +1) ^ 2 dx #

# - = int 1 / (u ^ 2 + 1) ^ 2 du #

الآن ، هذا هو النموذج المثالي لتنفيذ استبدال المثلثية. # u ^ 2 + 1 # يقترح هوية فيثاغورس # 1 + tan ^ 2theta = sec ^ 2theta #، لذلك نحن نطبق البديل #u = tantheta # لتبسيط المقام:

# (du) / (d theta) = ثانية ^ 2 theta #

#rArr du = sec ^ 2 theta d theta #

لذلك يصبح التكامل:

#int 1 / (sec ^ 2 theta) ^ 2 * sec ^ 2 theta d theta #

# = int 1 / (sec ^ 2 theta) d theta #

# - = int cos ^ 2 theta d theta #

الآن ، نستخدم صيغة الزاوية المزدوجة لـ # # كوس لجعل هذا المضاد أكثر سهولة:

#cos (2theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 #

#hArr cos ^ 2 theta = 1/2 (cos (2 theta) + 1) #

ثم ضع ذلك في جزء لا يتجزأ:

# 1/2 int cos (2 theta) + 1 d theta #

# = 1/2 (theta + 1/2 sin (2 theta)) + c # (وإعادة فتح هذا مع صيغة زاوية مزدوجة ل # # الخطيئة)

# = 1/2 theta + 1 / 2sinthetacostheta + c #

الآن، # x-1 = u = tan theta #

#rArr theta = arctan (x-1) #

# 1 + (x-1) ^ 2 = ثانية ^ 2 theta #

#rArr cos theta = 1 / sqrt (x ^ 2 - 2x +2) #

#sin theta = tan theta * cos theta #

#rArr sin theta = (x-1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 2) #

#:. sintheta * costheta = (x-1) / (x ^ 2-2x + 2) #

أخير ا ، وصلنا إلى النقطة:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #