ما هو أصغر عدد صحيح n بحيث n! = م cdot 10 ^ (2016)؟

إجابة:

# ن = 8075 #

تفسير:

سمح #v_p (ك) # يكون تعدد # ف # كعامل من #ك#. هذا هو، #v_p (ك) # هو أكبر عدد صحيح من هذا القبيل # ص ^ (v_p (ك)) | ك #.

الملاحظات:

• لأي #k في ZZ ^ + # و # ف # رئيس الوزراء ، لدينا #v_p (k!) = sum_ (i = 1) ^ k v_p (i) #

  (يمكن إثبات ذلك بسهولة عن طريق الحث)

• لأي عدد صحيح # ك> 1 #، نحن لدينا # v_2 (k!)> v_5 (k!) #.

  (هذا هو بديهية ، كما مضاعفات صلاحيات #2# تحدث بشكل متكرر أكثر من مضاعفات القوى المكافئة لـ #5#، ويمكن إثباتها بدقة باستخدام حجة مماثلة)

• إلى عن على #j ، k في ZZ ^ + #، نحن لدينا #j | k <=> v_p (j) <= v_p (k) # لأي مقسوم رئيسي # ف # من # ي #.

متابعة ، هدفنا هو العثور على أقل عدد صحيح # ن # مثل ذلك # 10 ^ 2016 |! ن #. مثل # 10 ^ 2016 = 2 ^ 2016xx5 ^ 2016 #، من خلال الملاحظة الثالثة ، نحتاج فقط إلى تأكيد ذلك # 2016 <= v_2 (n!) # و # 2016 <= v_5 (n!) #. الملاحظة الثانية تعني أن الأخير يعني الأول. وبالتالي ، يكفي للعثور على عدد صحيح أقل # ن # مثل ذلك # v_5 (n!) = sum_ (i = 1) ^ nv_5 (i)> = 2016 #.

لايجاد # ن # سنقدم ملاحظة والتي سوف تتيح لنا حساب # v_5 (5 ^ ك!) #.

ما بين #1# و # 5 ^ ك #، هناك # 5 ^ ك / 5 # مضاعفات #5#، كل منها يساهم على الأقل #1# إلى المبلغ #sum_ (ط = 1) ^ (5 ^ ك) v_5 (ط) #. هناك أيضا # 5 ^ ك / 25 # مضاعفات #25#، كل منها تسهم إضافية #1# إلى المبلغ بعد العد الأولي. يمكننا المتابعة بهذه الطريقة حتى نصل إلى مضاعف واحد # 5 ^ ك # (الذي # 5 ^ ك # نفسه) ، والتي ساهمت #ك# مرات إلى المبلغ. حساب المبلغ بهذه الطريقة ، لدينا

# v_5 (5 ^ k!) = sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) = sum_ (i = 1) ^ (k) 5 ^ k / 5 ^ i = sum_ (i = 1) ^ ^ K5 (كي) = sum_ (ط = 0) ^ (ك-1) 5 ^ ط = (5 ^ ك-1) / (5-1) #

وهكذا نجد ذلك # v_5 (5 ^ k!) = (5 ^ k-1) / 4 #

وأخيرا ، سوف نجد # ن # مثل ذلك # v_5 (n!) = 2016 #. إذا كنا نحسب # v_5 (5 ^ ك!) # لعدة قيم #ك#، نجد

# v_5 (5 ^ 1) = 1 #

# v_5 (5 ^ 2) = 6 #

# v_5 (5 ^ 3) = 31 #

# v_5 (5 ^ 4) = 156 #

# v_5 (5 ^ 5) = 781 #

مثل #2016 = 2(781)+2(156)+4(31)+3(6)#, # ن # يحتاج اثنين من "كتل" من #5^5#، اثنان من #5^4#أربعة من #5^3#، وثلاثة من #5^2#. وبالتالي ، نحصل عليه

#n = 2 (5 ^ 5) +2 (5 ^ 4) +4 (5 ^ 3) +3 (5 ^ 2) = 8075 #

يمكن للكمبيوتر التحقق بسرعة من ذلك #sum_ (ط = 1) ^ (8075) v_5 (ط) = 2016 #. وهكذا #10^2016 | 8075!#، و كما #5|8075!# مع تعدد #2016# و #5|8075#، من الواضح أنه لن تكفي أي قيمة أقل.