لماذا تحتاج إلى العثور على شكل مثلثي لعدد مركب؟

بناء على ما تحتاج إلى فعله بأعدادك المعقدة ، يمكن أن يكون النموذج المثلثي مفيد ا جد ا أو شائك ا للغاية.

على سبيل المثال ، اسمحوا # z_1 = 1 + ط #, # z_2 = الجذر التربيعي (3) + انا # و # z_3 = -1 + i sqrt {3} #.

لنحسب الشكلين المثلثيين:

# theta_1 = ظل الزاوية القوسي (1) = بي / 4 # و # rho_1 = الجذر التربيعي {1 + 1} = الجذر التربيعي {2} #

# theta_2 = ظل الزاوية القوسي (1 / الجذر التربيعي {3}) = بي / 6 # و # rho_2 = الجذر التربيعي {3 + 1} = 2 #

# theta_3 = pi + arctan (-sqrt {3}) = 2/3 pi # و # rho_3 = الجذر التربيعي {1 + 3} = 2 #

إذن الأشكال المثلثية هي:

# z_1 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) #

# z_2 = 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) #

# z_3 = 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

إضافة

دعنا نقول أنك تريد حساب # z_1 + z_2 + z_3 #. إذا كنت تستخدم النموذج الجبري ، فستحصل عليه

# z_1 + z_2 + z_3 = (1 + i) + (sqrt {3} + i) + (- 1 + i sqrt {3}) = sqrt {3} + i (2 + sqrt {3}) #

سهل جدا. جرب الآن مع النموذج المثلثية …

# z_1 + z_2 + z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) + 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) + 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

اتضح أن أقصر الطرق لإضافة هذين التعبيرين هي حل جيب التمام والجيب ، مما يعني … الانتقال إلى الشكل الجبري!

غالب ا ما يكون النموذج الجبري هو أفضل نموذج يمكن اختياره في إضافة أرقام معقدة.

عمليه الضرب

الآن نحاول حساب # z_1 * * z_2 z_3 #. يتطلب استخدام النماذج الجبرية الكثير من الحسابات المزعجة. لكن حل هذا المنتج بأشكال مثلثية أبسط:

# z_1 * z_2 * z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) * 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) * 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (pi / 4 + pi / 6 + 2/3 pi) + i sin (pi / 4 + pi / 6 + 2 / 3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (13/12 pi) + i sin (13/12 pi)) #

المكونات لإثبات أن المساواة الثانية تحمل تأتي من علم المثلثات: الاثنان إضافة الصيغ

#sin (alpha + beta) = sin (alpha) cos (beta) + sin (beta) cos (alpha) #

#cos (alpha + beta) = cos (alpha) cos (beta) -sin (alpha) sin (beta) #

إن ضرب الأعداد المركبة أكثر نظافة (لكن من الناحية المفاهيمية ليس أسهل) بشكل أسي.

بمعنى ما ، الشكل المثلث هو نوع من الفواصل بين الجبري والصيغ الأسية. شكل المثلث هو وسيلة للتبديل بين هذين. في هذا المعنى ، يعد نوع ا من "قاموس" لترجمة النماذج.