حل الفأس ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0؟

إجابة:

رسم سريع …

تفسير:

معطى:

# ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 "" # مع #a! = 0 #

هذا الأمر سريع الفوضى ، لذا سأقدم فقط رسم ا لطريقة واحدة …

اضرب ب # 256a ^ 3 # والبديل #t = (4ax + b) # للحصول على quartic monic الاكتئاب من النموذج:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = 0 #

لاحظ أنه نظر ا لعدم وجود مصطلح في # ر ^ 3 #، يجب أن عامل في الشكل:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = (t ^ 2-At + B) (t ^ 2 + At + C) #

#color (أبيض) (t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r) = t ^ 4 + (B + C-A ^ 2) t ^ 2 + A (B-C) t + BC #

معادلة المعاملات وإعادة ترتيبها قليلا ، لدينا:

# {(B + C = A ^ 2 + p) ، (B-C = q / A) ، (BC = d):} #

لذلك نجد:

# (A ^ 2 + p) ^ 2 = (B + C) ^ 2 #

#color (أبيض) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = (B-C) ^ 2 + 4BC #

#color (أبيض) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = q ^ 2 / A ^ 2 + 4d #

ضرب خارج ، ضرب من قبل # A ^ 2 # وإعادة ترتيب قليلا ، يصبح هذا:

# (A ^ 2) ^ 3 + 2p (A ^ 2) ^ 2 + (p ^ 2-4d) (A ^ 2) -q ^ 2 = 0 #

هذا "مكعب في # A ^ 2 #"له جذر حقيقي واحد على الأقل. من الناحية المثالية ، يكون له جذر حقيقي إيجابي يعطي قيمتين حقيقيتين محتملتين #ا#. بغض النظر ، فإن أي جذر للمكعب القيام به.

بالنظر إلى قيمة #ا#، نحن لدينا:

#B = 1/2 ((B + C) + (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p + q / A) #

#C = 1/2 ((B + C) - (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p-q / A) #

وبالتالي نحصل على حلين من الدرجة الثانية.