إجابة:
أدناه
تفسير:
لإظهار أن عدم المساواة صحيح ، يمكنك استخدام الاستقراء الرياضي
# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) # إلى عن على # ن> 1 #
الخطوة 1: إثبات صحيح ل # ن = 2 #
LHS =# 1 + 1 / sqrt2 #
RHS =# sqrt2 (2-1) = sqrt2 #
منذ # 1 + 1 / sqrt2> sqrt2 #، ثم #LHS> RHS #. لذلك ، هذا صحيح ل # ن = 2 #
الخطوة 2: افترض صحيح ل # ن = ك # حيث k عدد صحيح و # ك> 1 #
# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) # --- (1)
الخطوة 3: متى # ن = ك + 1 #,
RTP: # 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1) #
أي # 0> = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #
RHS
=# sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / الجذر التربيعي (ك + 1)) #
#> = sqrt2- (sqrt2 (ك-1) + 1 / الجذر التربيعي (ك + 1)) # من (1) على افتراض
=# sqrt2-sqrt2 (ك) + sqrt2-1 / الجذر التربيعي (ك + 1) #
=# 2sqrt2-sqrt2 (ك) -1 / الجذر التربيعي (ك + 1) #
منذ #K> 1 #، ثم # -1 / الجذر التربيعي (ك + 1) <0 # ومنذ ذلك الحين # ksqrt2> = 2sqrt2> 0 #، ثم # 2sqrt2-ksqrt2 <0 # وبالتالي # 2sqrt2-sqrt2 (ك) -1 / الجذر التربيعي (ك + 1) = <0 #
= LHS
الخطوة 4: كدليل على الحث الرياضي ، فإن عدم المساواة هذا صحيح بالنسبة لجميع الأعداد الصحيحة # ن # أكثر من #1#
عدم المساواة كما هو مذكور.
على سبيل المثال ، من أجل # ن = 3 #:
#underbrace (1 + 1 / sqrt2 + 1 / sqrt3) _ (حوالي 2.3) إلغاء (> =) تحجيم (sqrt2 (3-1)) _ (حوالي 2.8) #
تناقض.
