إذا أمكن ، ابحث عن دالة f مثل grad f = (4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 ، 6x ^ 3y + 6y ^ 5)؟

إجابة:

#f (x، y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

تفسير:

#del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2 #

# => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1 (y) #

#del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 #

# => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) #

#"خذ الان"#

# C_1 (y) = y ^ 6 + c #

# C_2 (x) = x ^ 4 + c #

# "ثم لدينا واحدة ونفس ، والتي تلبي الشروط." #

# => f (x، y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

إجابة:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

تفسير:

لدينا تدوين ضعيف في السؤال لأن عامل del (أو عامل التدرج اللوني) هو عامل تفاضلي متجه ،

نسعى وظيفة # F (X، Y) # مثل ذلك:

# bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2، 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> #

أين #BB (غراد) # هو عامل التدرج:

# "grad" f = bb (grad) f = (جزئي f) / (جزئي x) bb (ul قبعة i) + (جزئي f) / (جزئي x) bb (ul hat j) = << f_x، f_y> > #

نطلب منها ما يلي:

# f_x = (جزئي f) / (جزئي x) = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 # ….. ا

# f_y = (جزئي f) / (جزئي y) = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 # ….. ب

إذا دمجنا A wrt # # س، في حين علاج # ذ # كثابت ثم نحصل على:

# f = int 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 dx #

# = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c #

إذا دمجنا B wrt # ذ #، في حين علاج # # س كثابت ثم نحصل على:

# f = int 6x ^ 3y + 6y ^ 5 dy #

# = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

أين #U (ص) # هي وظيفة تعسفية لل # ذ # وحده ، و #V (خ) # هي وظيفة تعسفية لل # # س وحده.

من الواضح أننا نطلب أن تكون هذه الوظائف متطابقة ، وبالتالي لدينا:

# x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

#:. x ^ 4 + u (y) = y ^ 6 + v (x) #

وهكذا نختار #V (س) = س ^ 4 # و #U (ص) = ص ^ 6 #، الذي يعطينا حلنا:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

يمكننا تأكيد الحل بسهولة عن طريق حساب المشتقات الجزئية:

# f_x = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 #, # f_y = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 #

#:. bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2، 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> # وهو المطلوب