ما هو الحد مع اقتراب t من 0 (tan6t) / (sin2t)؟

#lim_ (t-> 0) tan (6t) / sin (2t) = 3 #. نحدد ذلك من خلال استخدام قاعدة مستشفى.

لإعادة صياغة ، تنص قاعدة L'Hospital على أنه عند إعطاء حد للنموذج #lim_ (ر أ) و (ر) / ز (ر) #، أين # F (أ) # و #G (أ) # هي القيم التي تتسبب في أن يكون الحد غير محدد (في أغلب الأحيان ، إذا كانت كلتاهما 0 أو شكلا من أشكال) ، فطالما كانت كلتا الوظيفتين مستمرتين ويمكن التمييز بينهما في وبالقرب من #ا،# يمكن للمرء أن يقول ذلك

#lim_ (ر أ) و (ر) / ز (ر) = lim_ (ر أ) و ('(ر)) / (ز "(ر)) #

أو بالكلمات ، فإن حد حاصل الدالتين يساوي حد حاصل مشتقاتهما.

في المثال المقدم ، لدينا #f (t) = tan (6t) # و #G (ر) = الخطيئة (2T) #. هذه الوظائف مستمرة وقابلة للتمييز بالقرب # t = 0 ، tan (0) = 0 و sin (0) = 0 #. وبالتالي ، لدينا الأولي # F (أ) / ز (أ) = 0/0 =؟. #

لذلك ، يجب أن نستخدم قاعدة مستشفى. # d / dt tan (6t) = 6 ثوان ^ 2 (6t) ، d / dt sin (2t) = 2 cos (2t) #. وهكذا …

#lim_ (t-> 0) tan (6t) / sin (2t) = lim_ (t-> 0) (6 ثوان ^ 2 (6t)) / (2 cos (2t)) = (6 ثوان ^ 2 (0)) / (2 cos (0)) = 6 / (2 * cos ^ 2 (0) * cos (0)) = 6 / (2 * 1 * 1) = 6/2 = 3 #

إجابة:

المطلوب ليم.#=3#.

تفسير:

سوف نجد هذا حد باستخدام ما يلي النتائج القياسية:

#lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1 ، lim_ (thetararr0) tantheta / theta = 1 #

لاحظ ان، #tan (6T) / الخطيئة (2T) = فارك (تان (6T) / (6T)) (الخطيئة (2T) / (2T)) ##frac (6T) (2T) = 3frac (تان (6T) / (6T)) (الخطيئة (2T) / (2T)) #

هنا، # trarr0rArr (6t) rarr0rArr lim_ (trarr0) tan (6t) / (6t) = 1 #

وبالمثل، #lim_ (trarr0) الخطيئة (2T) / (2T) = 1 #

لذلك ، المطلوب. ليم.#=3{1/1}=3#.