كيف يمكنك العثور على وظيفة كثير الحدود مع الجذور 1 و 7 و -3 من التعدد 2؟

إجابة:

# F (س) = 2 (س-1) (خ-7) (س + 3) = 2X ^ 3-5x ^ 2-17x + 21 #

تفسير:

إذا كانت الجذور هي 1.7 ، -3 عندئذ تكون دالة كثير الحدود على شكل عوامل:

# F (س) = A (خ-1) (خ-7) (س + 3) #

كرر الجذور للحصول على التعدد المطلوب:

# F (س) = (س-1) (خ-7) (س + 3) (خ-1) (خ-7) (س + 3) #

إجابة:

أبسط كثير الحدود مع الجذور #1#, #7# و #-3#، مع كل التعددية #2# هو:

#f (x) = (x-1) ^ 2 (x-7) ^ 2 (x + 3) ^ 2 #

# = س ^ 6-10x ^ 5-9x ^ 4 + 212x ^ 3 + 79x ^ 2-714x + 441 #

تفسير:

أي متعدد الحدود مع هذه الجذور مع هذه التكرارات على الأقل سيكون مضاعفا لـ # F (خ) #، أين…

#f (x) = (x-1) ^ 2 (x-7) ^ 2 (x + 3) ^ 2 #

# = (س ^ 3-5x ^ 2-17x + 21) ^ 2 #

# = س ^ 6-10x ^ 5-9x ^ 4 + 212x ^ 3 + 79x ^ 2-714x + 441 #

… على الأقل أعتقد أنني ضاعفت هذا بشكل صحيح.

دعونا تحقق # F (2) #:

#2^6-10*2^5-9*2^4+212*2^3+79*2^2-714*2+441#

#=64-320-144+1696+316-1428+441=625#

#((2-1)(2-7)(2+3))^2 = (1*-5*5)^2 = (-25)^2 = 625#

كثير الحدود من الدرجة 4 ، P (x) له جذر التعدد 2 في x = 3 وجذور التعدد 1 في x = 0 و x = -3. وغني عن هذه النقطة (5112). كيف تجد صيغة P (x)؟

كثير الحدود من الدرجة 4 سيكون له شكل الجذر: y = k (x-r_1) (x-r_2) (x-r_3) (x-r_4) استبدل قيم الجذور ثم استخدم النقطة للعثور على القيمة من ك. استبدل قيم الجذور: y = k (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3)) استخدم النقطة (5،112) للعثور على قيمة k: 112 = k (5-0) (5-3) (5-3) (5 - (- 3)) 112 = ك (5) (2) (2) (8) ك = 112 / ((5) (2) ( 2) (8)) k = 7/10 الجذر من كثير الحدود هو: y = 7/10 (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3))

كثير الحدود من الدرجة 5 ، P (x) له المعامل الرئيسي 1 ، له جذور التعدد 2 في x = 1 و x = 0 ، وجذر التعدد 1 في x = -1 أوجد صيغة ممكنة لـ P (x)؟

P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) بالنظر إلى أن لدينا جذر التعدد 2 في x = 1 ، نعلم أن P (x) لديها عامل (x-1) ^ 2 بالنظر إلى أن لدينا جذر التعدد 2 عند x = 0 ، نحن نعلم أن P (x) لها عامل x ^ 2 بالنظر إلى أن لدينا جذر التعدد 1 في x = -1 ، نعرف أن P (x) يحتوي على عامل x + 1 لقد حصلنا على أن P (x) متعدد الحدود من الدرجة 5 ، وبالتالي حددنا جميع الجذور الخمسة ، والعوامل ، حتى نتمكن من كتابة P (x) = 0 => x ^ 2 (x -1) ^ 2 (x + 1) = 0 وبالتالي يمكننا كتابة P (x) = Ax ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) نعلم أيض ا أن المعامل الأول هو 1 => A = 1 وبالتالي ، P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1)

عندما يتم تقسيم متعدد الحدود على (x + 2) ، فإن الباقي هو -19. عندما يتم تقسيم نفس كثير الحدود على (x-1) ، الباقي هو 2 ، كيف يمكنك تحديد الباقي عندما يتم تقسيم متعدد الحدود على (x + 2) (x-1)؟

نعلم أن f (1) = 2 و f (-2) = - 19 من نظرية Remainder Now ، أعثر الآن على ما تبقى من كثير الحدود f (x) عند القسمة على (x-1) (x + 2) الباقي سيكون شكل Ax + B ، لأنه الباقي بعد القسمة على تربيعي. يمكننا الآن مضاعفة المقسوم عليه في حاصل القسمة Q ... f (x) = Q (x-1) (x + 2) + Ax + B التالي ، أدخل 1 و -2 ل x ... f (1) = Q (1-1) (1 + 2) + A (1) + B = A + B = 2 f (-2) = Q (-2-1) (- 2 + 2) + A (-2) + B = -2A + B = -19 حل هاتين المعادلتين ، نحصل على A = 7 و B = -5 الباقي = Ax + B = 7x-5