تثبت أن مجموعة الطاقة هو المجال؟

إجابة:

مجموعة القوة للمجموعة هي حلقة تبديلية في ظل العمليات الطبيعية للاتحاد والتقاطع ، ولكنها ليست حقل ا تحت تلك العمليات ، نظر ا لأنه يفتقر إلى العناصر المعكوسة.

تفسير:

بالنظر إلى أي مجموعة # # S، النظر في مجموعة السلطة # 2 ^ S # من # # S.

هذا له عمليات طبيعية للاتحاد # ش ش # الذي يتصرف مثل الجمع ، مع الهوية # O / # والتقاطع # ن ن # الذي يتصرف مثل الضرب مع الهوية # # S.

بتفاصيل اكثر:

• # 2 ^ S # مغلق تحت # ش ش #

  إذا # أ ، ب في 2 ^ S # ثم #A UU B في 2 ^ S #

• هناك هوية # O / in 2 ^ S # إلى عن على # ش ش #

  إذا #A في 2 ^ S # ثم #A uu / = O / uu A = A #

• # ش ش # غير النقابي

  إذا #A ، B ، C في 2 ^ S # ثم #A uu (B uu C) = (A uu B) uu C #

• # ش ش # هو تبديلي

  إذا # أ ، ب في 2 ^ S # ثم #A uu B = B uu A #

• # 2 ^ S # مغلق تحت # ن ن #

  إذا # أ ، ب في 2 ^ S # ثم #A nn B في 2 ^ S #

• هناك هوية # S في 2 ^ S # إلى عن على # ن ن #

  إذا #A في 2 ^ S # ثم #A nn S = S nn A = A #

• # ن ن # غير النقابي

  إذا #A ، B ، C في 2 ^ S # ثم #A nn (B nn C) = (A nn B) nn C #

• # ن ن # هو تبديلي

  إذا # أ ، ب في 2 ^ S # ثم #A nn B = B nn A #

• # ن ن # هو اليسار واليمين توزيع أكثر # ش ش #

  إذا # أ ، ب في 2 ^ S # ثم #A nn (B uu C) = (A nn B) uu (A nn C) #

  و # (A u B) nn C = (A nn C) uu (B nn C) #

وبالتالي # 2 ^ S # يرضي جميع البديهيات المطلوبة حتى تكون حلقة تبادلية مع إضافة # ش ش # والضرب # ن ن #.

إذا # S = O / # ثم # 2 ^ S # لديه عنصر واحد ، وهي # O / #، لذلك فشلت في الحصول على هويات مضافة ومتعددة مميزة وبالتالي ليس مجال ا.

لاحظ خلاف ذلك # # S لا يوجد لديه معكوس تحت # ش ش # و # O / # لا يوجد لديه معكوس تحت # ن ن #. وبالتالي # 2 ^ S # لا يشكل حقل ا بسبب نقص العناصر العكسية.