للمثلث زوايا عند (5 ، 5) ، (9 ، 4) ، و (1 ، 8). ما هو نصف قطر دائرة المثلث المدرج؟

إجابة:

#r = {8} / { sqrt {17} + 4 sqrt {5} + 5} #

تفسير:

نحن نسمي زوايا القمم.

سمح # ص # تكون دائرة نصف قطرها من incircle مع incenter الأول. العمودي من أنا إلى كل جانب هو دائرة نصف قطرها # ص #. هذا يشكل ارتفاع مثلث قاعدته جانب. المثلثات الثلاثة معا تجعل الخلاف الأصلي ، لذلك مساحتها #mathcal {A} # هو

# mathcal {A} = 1/2 r (a + b + c) #

نحن لدينا

# a ^ 2 = (9-5) ^ 2 + (4-5) ^ 2 = 17 #

# b ^ 2 = (9-1) ^ 2 + (8-4) ^ 2 = 80 #

# c ^ 2 = (5-1) ^ 2 + (8-5) ^ 2 = 25 #

المنطقة #mathcal {A} # من مثلث مع الجانبين # أ، ب، ج # يرضي

# 16mathcal {A} ^ 2 = 4a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 #

# 16 mathcal {A} ^ 2 = 4 (17) (80) - (25 - 17 - 80) ^ 2 = 256 #

#mathcal {A} = sqrt {256/16} = 4 #

#r = {2 mathcal {A}} / (a + b + c) #

#r = {8} / { sqrt {17} + sqrt {80} + sqrt {25}} #