يمكن للمرء أن يجادل في هذا السؤال يمكن للهندسة ، ولكن هذه الخاصية من Arbelo هي أولية وأساس جيد لإثبات البديهية والملاحظة ، لذلك تبين أن طول الحد الأدنى من arbelos يساوي الحد العلوي للطول؟

دعوة #hat (AB) # طول نصف الدائرة مع دائرة نصف قطرها # ص #, #hat (AC) # طول نصف دائرة نصف قطرها # # r_1 و #hat (CB) # طول نصف الدائرة مع دائرة نصف قطرها # # r_2

نحن نعرف ذلك

#hat (AB) = lambda r #, #hat (AC) = lambda r_1 # و #hat (CB) = lambda r_2 # ثم

#hat (AB) / ص = قبعة (AC) / r_1 = قبعة (CB) / r_2 # لكن

#hat (AB) / r = (قبعة (AC) + قبعة (CB)) / (r_1 + r_2) = (قبعة (AC) + قبعة (CB)) / r #

لأنه إذا

# n_1 / n_2 = m_1 / m_2 = لامدا # ثم

#lambda = (n_1pmm_1) / (n_2pmm_2) = (lambda n_2pm lambda m_2) / (n_2pmm_2) = lambda #

وبالتالي

#hat (AB) = قبعة (AC) + قبعة (CB) #