كيف يمكنك استخدام الاختبار المتكامل لتحديد تقارب أو تباين السلسلة: sum n e ^ -n من n = 1 إلى infinity؟

كيف يمكنك استخدام الاختبار المتكامل لتحديد تقارب أو تباين السلسلة: sum n e ^ -n من n = 1 إلى infinity؟
Anonim

إجابة:

خذ لا يتجزأ # int_1 ^ ^ ooxe -xdx #وهو محدود ، ولاحظ أنه حدود #sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n) #. لذلك هو متقارب ، لذلك #sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) # هو كذلك.

تفسير:

ينص البيان الرسمي للاختبار المتكامل على أنه إذا #fin 0، س س) rightarrowRR # وظيفة خفض رتابة وهو غير سلبي. ثم المبلغ #sum_ (ن = 0) ^ OOF (ن) # هو متقارب إذا وفقط إذا # "سوب" _ (N> 0) int_0 ^ نف (خ) DX # هو محدود. (تاو ، تيرينس ، التحليل الأول ، الطبعة الثانية ، وكالة هندوستان للكتاب ، 2009).

قد يبدو هذا البيان تقني ا بعض الشيء ، لكن الفكرة هي التالية. مع الأخذ في هذه الحالة الوظيفة # F (س) = XE ^ (- خ) #، نلاحظ أن ل # ضعف> 1 #، هذه الوظيفة آخذة في التناقص. يمكننا أن نرى هذا من خلال أخذ المشتق. # F '(س) = ه ^ (- س) -xe ^ (- س) = (1-س) ه ^ (- س) <0 #، منذ # ضعف> 1 #، وبالتالي # (1-س) <0 # و #E ^ (- س)> 0 #.

بسبب هذا ، نلاحظ أن لأي #ninNN _ (> = 2) # و # x في 1 ، oo) # مثل ذلك # ضعف <= ن # نحن لدينا # F (خ)> = و (ن) #. وبالتالي #int_ (ن +1) ^ NF (خ) DX => int_ (ن +1) ^ NF (ن) DX = و (ن) #، وبالتالي #sum_ (ن = 1) ^ نف (ن) <= و (1) + sum_ (ن = 2) ^ Nint_ (ن +1) ^ NF (خ) DX = و (1) + int_1 ^ نف (خ) DX #.

# int_1 ^ OOF (س) = DX int_1 ^ ooxe ^ (- س) = DX -int_ (س = 1) ^ ooxde ^ (- س) = - XE ^ (- خ) | _1 ^ س س + int_1 ^ ^ OOE (-x) DX ## = - XE ^ (- س) -e ^ (- خ) | ^ oo_1 = 2 / ه # باستخدام التكامل من خلال الأجزاء وهذا #lim_ (xrightarrowoo) ه ^ -x = lim_ (xrightarrowoo) XE ^ -x = 0 #.

منذ # F (خ)> = 0 #، نحن لدينا # ه / 2 = int_1 ^ OOF (خ) DX => int_1 ^ نف (خ) DX #، وبالتالي #sum_ (ن = 1) ^ نف (ن) <= و (1) + 2 / ه = 3 / ه #. منذ # F (ن)> = 0 #، السلسلة #sum_ (ن = 1) ^ نف (ن) # يزيد كما # N # يزيد. لأنه يحدها # 3 / ه #، يجب أن تتلاقى. وبالتالي #sum_ (ن = 1) ^ OOF (ن) # يتقاطع.