زاويتان من مثلث متساوي الساقين هي في (8 ، 3) و (5 ، 4). إذا كانت مساحة المثلث 4 ، فما هي أطوال جوانب المثلث؟

إجابة:

طول الجانبين #sqrt 10 ، sqrt 10 ، sqrt 8 # والنقاط هي # (8،3) ، (5،4) و (6،1) #

تفسير:

دع نقاط المثلث تكون # (x_1 ، y_1) ، (x_2 ، y_2) ، (x_3 ، y_3). #

مساحة المثلث هي A = # ((x_1 (y_2 - y_3) + x_2 (y_3 - y_1) + x_3 (y_1 - y_2)) / 2) #

معطى # A = 4 ، (x_1 ، y_1) = (8،3) ، (x_2 ، y_2) = (5،4) #

استبدال لدينا المعادلة المنطقة أدناه:

# ((8 (4 - y_3) + 5 (y_3 - 3) + x_3 (3 - 4)) / 2) = 4 #

# ((8 (4 - y_3) + 5 (y_3 - 3) + x_3 (3 - 4)) = 8 #

# (32 - 8y_3) + (5y_3 - 15) + (-1x_3) = 8 #

# 17 - 3y_3 -x_3 = 8 #

# - 3y_3 -x_3 = (8-17) #

# - 3y_3 -x_3 = -9 #

# 3y_3 + x_3 = 9 # ----> المعادلة 1

المسافة بين النقاط #(8,3), (5,4)# باستخدام صيغة المسافة هو

#sqrt ((8-5) ^ 2 + (3-4) ^ 2) # = #sqrt (3 ^ 2 + (- 1) ^ 2) # = #sqrt 10 #

المسافة بين النقاط # (x_3 ، y_3) ، (5،4) # باستخدام صيغة المسافة هو

#sqrt ((x_3 -5) ^ 2 + (y_3 - 4) ^ 2) # = #sqrt 10 #

تربيع كلا الجانبين وإخضاعهما # x_3 = 9 - 3y_3 # من المعادلة 1 ، نحصل على معادلة من الدرجة الثانية.

# (9-3y_3 - 5) ^ 2 + (y_3 - 4) ^ 2 = 0 #

# (4-3y_3) ^ 2 + (y_3 - 4) ^ 2 = 0 #

العوملة هذا ، نحصل عليه # (y-1) (10y-22) = 0 #

y = 1 أو y = 2.2. ص = 2.2 يمكن التخلص منها. وبالتالي ، يجب أن تكون النقطة الثالثة (6،1).

عن طريق حساب المسافات للحصول على نقاط # (8،3) ، (5،4) و (6،1) #، نحن نحصل # sqrt 8 # لطول القاعدة.