السؤال رقم 92256

إجابة:

انظر الشرح

تفسير:

قسم هذا إلى قسمين ، أولا الجزء الداخلي:

# ه ^ س #

هذا أمر إيجابي ومتزايد لجميع الأعداد الحقيقية وينتقل من 0 إلى # س س # مثل # # س يذهب من # # -oo إلى # س س #

لدينا:

#arctan (ش) #

يحتوي على مقارب أفقي الأيمن في # ذ = بي / 2 #. الذهاب من # u = 0 rarr oo #، في # ش = 0 # هذه الوظيفة إيجابية ومتنامية عبر هذا المجال ، تأخذ قيمة 0 في # ش = 0 #، قيمة # بي / 4 # في # ش = 1 # وقيمة # بي / 2 # في # ش = س س #.

الحصول على سحب هذه النقاط # س = -oo، 0، س س # على التوالي ، وينتهي بنا المطاف برسم بياني يشبه هذا كنتيجة:

رسم بياني {arctan (e ^ x) -10 ، 10 ، -1.5 ، 3}

وهو الجزء الايجابي من # # ظل الزاوية القوسي تمدد الوظيفة على الخط الحقيقي بأكمله مع امتداد القيمة اليسرى إلى خط مقارب أفقي في # ص = 0 #.

إجابة:

انظر الشرح

تفسير:

نطاق هو # # RR

تناظر

لا فيما يتعلق ب # # س محور ولا ث. الأصل.

#arctan (ه ^ (- س)) # لا تبسيط ل #arctan (ه ^ س) #

ولا ل # -arctan (ه ^ س) #

اعتراض

# # س اعتراض: لا شيء

لا يمكننا الحصول عليها #y = 0 # لأن ذلك يتطلب # e ^ x = 0 #

لكن # ه ^ س # أبدا #0#، يقترب فقط #0# مثل # xrarr-س س #.

وبالتالي، # # yrarr0 مثل # xrarr-س س # و ال # # س محور السراج الأفقي

مقارب على اليسار.

# ذ # اعتراض: # بي / 4 #

متى # س = 0 #، نحن نحصل #y = arctan (1) = pi / 4 #

الخطوط المقاربة:

عمودي: لا شيء

# # ظل الزاوية القوسي يتراوح ما بين # -pi / 2 # و # بي / 2 # بحكم التعريف ، لذلك لا يذهب إلى # س س #

أفقي:

اليسار: # ص = 0 # كما نوقش أعلاه

حق: # ذ = بي / 2 #

نحن نعرف ذلك ، كما # thetararrpi / 2 # مع #theta <pi / 2 #، نحن نحصل #tantheta rarr oo #

مثل # # xrarroo، نحن نحصل # e ^ x rarroo #، وبالتالي # y = arctan (e ^ x) rarr pi / 2 #

مشتق الأول

#y '= e ^ x / (1 + e ^ (2x)) # أبدا #0# ولم يتم تحديده أبد ا ، لذلك لا توجد أرقام مهمة.

لكل # # س نحن لدينا #y '> 0 # وبالتالي فإن الوظيفة تزداد # (- س س، س س) #

لا توجد extrema المحلية.

المشتق الثاني

#y '' = (e ^ x (1 + e ^ (2x)) - e ^ x (2e ^ (2x))) / / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x + e ^ (3x) -2e ^ (3x)) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (ه ^ س (1-ه ^ (2X))) / (1 + ه ^ (2X)) ^ 2 #

#Y '' # غير معروف على الإطلاق ، وهو كذلك #0# في # س = 0 #

علامة #Y '' #:

على # (- س س، 0) #، نحن نحصل # e ^ (2x) <1 # وبالتالي #y ''> 0 # والرسم البياني مقعر

على # (0، س س) #، نحن نحصل # e ^ (2x)> 1 # وبالتالي #y '' <0 # والرسم البياني مقعر إلى أسفل

يتغير التقعر في # س = 0 #، لذلك نقطة انعطاف هي:

# (0، بي / 4) #

الآن رسم الرسم البياني