ما هو مشتق س ^ ن؟

لهذه الوظيفة # F (س) = س ^ ن #، ن ينبغي ليس يساوي 0 ، لأسباب سوف تصبح واضحة. يجب أن يكون n عدد ا صحيح ا أو رقم ا عقلاني ا (أي الكسر).

القاعدة هي:

#f (x) = x ^ n => f '(x) = nx ^ (n-1) #

بمعنى آخر ، نحن "نستعير" قوة x ونجعلها معامل المشتق ، ثم نطرح 1 من القوة.

#f (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1 #

#f (x) = x ^ 7 => f '(x) = 7x ^ 6 #

#f (x) = x ^ (1/2) => f '(x) = 1/2 * x ^ (- 1/2) #

كما ذكرت ، الحالة الخاصة هي حيث n = 0. هذا يعني ذاك

# F (س) = س ^ 0 = 1 #

يمكننا استخدام حكمنا و فنيا الحصول على الجواب الصحيح:

#f '(x) = 0x ^ -1 = 0 #

ومع ذلك ، في وقت لاحق من المسار ، سنواجه بعض المضاعفات عندما نحاول استخدام عكس هذه القاعدة.

إجابة:

# y ^ '= nx ^ (n-1) #

فيما يلي الأدلة لكل الأرقام ، ولكن فقط الدليل لجميع الأعداد الصحيحة يستخدم مجموعة المهارات الأساسية لتعريف المشتقات. يستخدم الدليل على جميع الأسباب المنطقية قاعدة السلاسل ، أما بالنسبة للعقلانيين فيستخدمون التمايز الضمني.

تفسير:

ومع ذلك ، سأريهم جميع ا هنا ، حتى تتمكن من فهم العملية. احذر ذلك #سوف# أن تكون طويلة إلى حد ما.

من عند #y = x ^ (n) #، إذا # ن = 0 # نحن لدينا #y = 1 # ومشتق ثابت هو alsways صفر.

إذا # ن # هو أي عدد صحيح موجب آخر يمكننا إلقاؤه في الصيغة المشتقة واستخدام نظرية ذات الحدين لحل الفوضى.

#y = lim_ (h rarr 0) ((x + h) ^ n - x ^ n) / h #

#y = lim_ (h rarr 0) (x ^ n + Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) - x ^ n) / h #

أين # # K_i هو الثابت المناسب

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) / h #

تقسيم ذلك # ح #

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ nK_i * x ^ (n-i) h ^ (i-1) #

يمكننا إخراج الفصل الدراسي الأول من المبلغ

#y = lim_ (h rarr 0) K_1 * x ^ (n-1) + Sigma_ (i = 2) ^ nK_ix ^ (n-i) h ^ (i-1) #

بأخذ الحد ، كل شيء آخر لا يزال في المجموع يذهب إلى الصفر. حساب # # K_1 نحن نرى أنه يساوي # ن #، وبالتالي

#y = K_1 * x ^ (n-1) = nx ^ (n-1) #

إلى عن على # ن # التي هي الأعداد الصحيحة السالبة هو أكثر تعقيدا قليلا. مع العلم أن # x ^ -n = 1 / x ^ b #، مثل ذلك #b = -n # وبالتالي هو إيجابي.

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h (1 / (x + h) ^ b - 1 / x ^ b) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - (x + h) ^ b) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - x ^ b - Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ i) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) ((- Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (b-i) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

خذ الفصل الأول

#y = lim_ (h rarr 0) ((- K_1x ^ (b-1) - Sigma_ (i = 2) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ ب)) #

خذ الحد ، أين # K_1 = ب #، أن يحول ذلك إلى # ن #

#y = -K_1x ^ (b-1) / (x ^ b * x ^ b) = -K_1x ^ (b-1-2b) = -K_1x ^ (- b-1) = nx ^ (n-1) #

للمبررات نحتاج إلى استخدام قاعدة السلسلة. أي.: # f (g (x)) ^ '= f ^' (g (x)) g ^ '(x) #

لذلك ، معرفة ذلك # x ^ (1 / n) = الجذر (n) (x) # وافتراض # ن = 1 / ب # نحن لدينا

# (x ^ n) ^ b = x #

إذا #ب# حتى ، والجواب هو من الناحية الفنية # | س | # ولكن هذا قريب بما فيه الكفاية لأغراضنا

لذلك ، باستخدام قاعدة السلسلة لدينا

# x ^ n ^ '= 1 / (bx ^ (nb-n)) = 1 / (bx ^ (1-n)) = nx ^ (n - 1) #

وأخيرا وليس آخرا ، باستخدام التمايز الضمني ، يمكننا إثبات جميع الأعداد الحقيقية ، بما في ذلك غير العقلانيين.

#y = x ^ n #

#ln (y) = n * ln (x) #

#y ^ '/ y = n / x #

# y ^ '= (nx ^ n) / x = nx ^ (n-1) #