كيف يمكنني تبسيط (sin ^ 4x-2sin ^ 2x + 1) cosx؟

إجابة:

# كوس ^ 5X #

تفسير:

هذا النوع من المشاكل هو في الحقيقة ليس بهذا السوء بمجرد إدراك أنه ينطوي على جبر صغير!

أولا ، سأقوم بإعادة كتابة التعبير المقدم لتسهيل فهم الخطوات التالية. نحن نعرف ذلك # الخطيئة ^ 2X # هي مجرد طريقة أبسط للكتابة # (sin x) ^ 2 #. وبالمثل، # sin ^ 4x = (sin x) ^ 4 #.

يمكننا الآن إعادة كتابة التعبير الأصلي.

# (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x #

# = (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

الآن ، ها هو الجزء الذي يتضمن الجبر. سمح #sin x = a #. يمكننا الكتابة # (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 # مثل

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 #

هل هذا يبدو مألوفا؟ نحن فقط بحاجة لعامل هذا! هذا هو مربع ثلاثي الحدود الكمال. منذ # a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 = (a-b) ^ 2 #، يمكننا أن نقول

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 = (a ^ 2 - 1) ^ 2 #

الآن ، العودة إلى الوضع الأصلي. إعادة بديلا # سين × إلى عن على #ا#.

# (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

# = (sin x) ^ 2 -1 ^ 2 cos x #

# = (اللون (الأزرق) (الخطيئة ^ 2x - 1)) ^ 2 cos x #

يمكننا الآن استخدام هوية مثلثية لتبسيط المصطلحات باللون الأزرق. إعادة ترتيب الهوية # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #، نحن نحصل #color (أزرق) (sin ^ 2 x -1 = -cos ^ 2x) #.

# = (اللون (الأزرق) (- cos ^ 2x)) ^ 2 cos x #

بمجرد أن نقيم هذا ، تتضاعف العلامات السلبية لتصبح إيجابية.

# = (cos ^ 4x) cos x #

# = جتا ^ 5X #

وهكذا، # (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x = cos ^ 5x #.