إجابة:
# -xe ^ (2 س) -e ^ (2 س) + س ^ 3 + 1 + ه ^ 2 #
تفسير:
ابدأ باستخدام قاعدة المجموع للتكاملات وتقسيمها إلى تكاملين منفصلين:
# intxe ^ (2 س) DX + int3x ^ 2DX #
يتم حل أول هذه التكاملات المصغرة باستخدام التكامل بواسطة الأجزاء:
سمح # ش = س -> (دو) / DX = 1-> دو = DX #
# DV = ه ^ (2 س) dx-> intdv = الأسواق العالمية ضغطها ^ (2 س) dx-> ت = -e ^ (2 س) #
الآن باستخدام التكامل من خلال أجزاء الصيغة # intudv = الأشعة فوق البنفسجية intvdu #، نحن لدينا:
# intxe ^ (2 س) DX = (س) (- ه ^ (2 س)) - كثافة العمليات (-e ^ (2 س)) DX #
# = - XE ^ (2 س) + الأسواق العالمية ضغطها ^ (2 س) DX #
# = - XE ^ (2 س) -e ^ (2 س) #
والثاني هو حالة قاعدة القدرة العكسية ، والتي تنص على:
# intx ^ NDX = (س ^ (ن + 1)) / (ن + 1) #
وبالتالي # int3x ^ 2DX = 3 ((س ^ (2 + 1)) / (2 + 1)) = 3 (س ^ 3/3) = س ^ 3 #
وبالتالي، # intxe ^ (2 س) + 3X ^ 2DX = -xe ^ (2 س) -e ^ (2 س) + س ^ 3 + C # (تذكر أن تضيف ثابت التكامل!)
تعطى لنا الشرط الأولي # F (0) = 1 #، وبالتالي:
# 1 = - (0) ه ^ (2- (0)) - ه ^ (2- (0)) + (0) ^ 3 + C #
# 1 = -e ^ 2 + C #
# C = 1 + ه ^ 2 #
عند إجراء هذا الاستبدال النهائي ، نحصل على الحل النهائي لدينا:
# intxe ^ (2 س) + 3X ^ 2DX = -xe ^ (2 س) -e ^ (2 س) + س ^ 3 + 1 + ه ^ 2 #
