من المعروف أن المعادلة bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 لها جذر حقيقي واحد. أثبت أن المعادلة x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 ليس لها جذور حقيقية.؟

إجابة:

انظر أدناه.

تفسير:

جذور ل # ب س ^ 2- (أ-3B) س + ب = 0 # هي

#x = (a - 3 b pmsqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2) / (2 b) #

جذور ستكون متزامنة وحقيقية إذا

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 #

أو

# ل= ب # أو # أ = 5 ب

حل الآن

# س ^ 2 + (أ ب) س + (أ ب-ب ^ 2 + 1) = 0 # نحن لدينا

#x = 1/2 (-a + b pm sqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4) #

حالة الجذور المعقدة هي

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 lt 0 #

صنع الآن # أ = ب # أو # أ = 5 ب نحن لدينا

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 #

ختاما ، إذا # ب س ^ 2- (أ-3B) س + ب = 0 # له جذور حقيقية متزامنة # س ^ 2 + (أ ب) س + (أ ب-ب ^ 2 + 1) = 0 # سوف يكون لها جذور معقدة.

لقد أعطينا أن المعادلة:

# bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 #

له جذر حقيقي ، وبالتالي فإن المتمايز في هذه المعادلة هو صفر:

# دلتا = 0 #

# => (- (a-3b)) ^ 2 - 4 (b) (b) = 0 #

#:. (a-3b) ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 9b ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 5b ^ 2 = 0 #

#:. (a-5b) (a-b) = 0 #

#:. و= ب #أو # أ = 5 ب

نسعى لإظهار المعادلة:

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 #

لا يوجد لديه جذور حقيقية. وهذا يتطلب تمييز سلبي. المميز لهذه المعادلة هو:

# Delta = (a-b) ^ 2 - 4 (1) (ab-b ^ 2 + 1) #

# = a 2-2ab + b ^ 2 -4ab + 4b ^ 2-4 #

# = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

والآن ، دعونا ننظر في الحالتين الممكنتين اللتين تفيان بالمعادلة الأولى:

حالة 1: # ل= ب #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (b) ^ 2-6 (b) b + 5b ^ 2-4 #

# = b ^ 2-6b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# lt 0 #

الحالة 2: # ل= 5B #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (5b) ^ 2-6 (5b) b + 5b ^ 2-4 #

# = 25b ^ 2-30b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# lt 0 #

ومن هنا تأتي شروط المعادلة الأولى بحيث يكون للمعادلة الثانية دائم ا تمييز سلبي ، وبالتالي لها جذور معقدة (أي لا توجد جذور حقيقية) ، QED