كيفية الإجابة على هذه باستخدام intergration؟

إجابة:

المنطقة هي # = (32/3) ش ^ 2 # والحجم هو # = (512 / 15pi) ش ^ 3 #

تفسير:

ابدأ بإيجاد التقاطع مع المحور السيني

# ذ = 4X-س ^ 2 = س (4X) = 0 #

وبالتالي،

# س = 0 # و # س = 4 #

المنطقة هي

# دا = YDX #

# A = int_0 ^ 4 (4X-س ^ 2) DX #

# = ^ 2X 2-1 / 3X ^ 3 _0 ^ 4 #

#=32-64/3-0#

# = 32 / 3U ^ 2 #

حجم هو

# DV = piy ^ 2DX #

# V = piint_0 ^ 4 (4X-س ^ 2) ^ 2DX #

# = piint_0 ^ 4 (16X ^ 2-8x ^ 3 + س ^ 4) DX #

# = بي 16 / 3X ^ 3-2x ^ 4 + 1 / 5X ^ 5 _0 ^ 4 #

# = بي (1024 / 3-512 + 1024 / 5-0) #

# = بي (5120 / 15-7680 / 15 + 3072/15) #

# = بي (512/15) #

إجابة:

ا. #32/3#

ب. # (512pi) / 15 #

تفسير:

أولا ، نحتاج إلى إيجاد النقاط التي يعبر فيها الرسم البياني # # س-محور.

# 4X-س ^ 2 = س (4X) = 0 #

إما # س = 0 # أو # 4 س = 0 #

# x = 0 أو 4 #

الآن نحن نعرف الحدود العليا والسفلى لدينا.

ا. # "المساحة أسفل الرسم البياني" = int_b ^ af (x) dx #

# int_0 ^ 4 4x-x ^ 2dx = 2x ^ 2-x ^ 3/3 _0 ^ 4 = (2 (4) ^ 2-4 ^ 3/3) - (2 (0) ^ 2-0 ^ 3/3) = 32/3 #

ب. # "حجم الدوران" = piint_b ^ a (f (x)) ^ 2dx #

# F (س) ^ 2 = (4x و-س ^ 2) ^ 2 = 16X ^ 2-8x ^ 3 + س ^ 4 #

# piint_0 ^ 4 16x ^ 2-8x ^ 3 + x ^ 4dx = pi (16x ^ 3) / 3-2x ^ 4 + x ^ 5/5 _0 ^ 4 = pi ((16 (4) ^ 3) / 3-2 (4) ^ 4 + 4 ^ 5/5) - ((16 (0) ^ 3) / 3-2 (0) ^ 4 + 0 ^ 5/5) = بي 512/15 = (512pi) / 15 #