السؤال # ba262

إجابة:

البرهان طويل بعض الشيء ، لكن يمكن التحكم فيه. انظر أدناه.

تفسير:

عند محاولة إثبات هويات علم حساب المثلثات التي تتضمن الكسور ، من الأفضل دائم ا إضافة الكسور أولا:

# سينت / (تكلفة 1) + (1 + التكلفة) / سينت = (2 (1 + التكلفة)) / سينت #

# -> سينت / (تكلفة 1) سينت / سينت + (1 + التكلفة) / سينت (1-التكلفة) / (1-التكلفة) = (2 (1 + التكلفة)) / سينت #

# -> الخطيئة ^ 2T / ((التكلفة 1) (سينت)) + ((1 + التكاليف) (التكلفة 1)) / ((التكلفة 1) (سينت)) = (2 (1 + التكلفة)) / سينت #

# -> (الخطيئة ^ 2T + (1 + التكاليف) (التكلفة 1)) / ((التكلفة 1) (سينت)) = (2 (1 + التكلفة)) / سينت #

التعبير # (تكلفة 1 +) (التكلفة 1) # هو في الواقع اختلاف المربعات في التنكر:

# (أ + ب) (أ-ب) = أ ^ 2 ب ^ 2 #

مع # ل= 1 # و # ب = تكلفة #. ويقيم ل # (1) ^ 2- (التكلفة) ^ 2 = 1-جتا ^ 2T #.

يمكننا الذهاب أبعد من ذلك مع # 1-جتا ^ 2T #. أذكر هوية فيثاغورس الأساسية:

# كوس ^ 2X + الخطيئة ^ 2X = 1 #

طرح # كوس ^ 2X # من كلا الجانبين ، نرى:

# الخطيئة ^ 2X = 1-جتا ^ 2X #

منذ # # س هو مجرد متغير نائب ، يمكننا أن نقول ذلك # الخطيئة ^ 2T = 1-جتا ^ 2T #. لذلك ، فإن # (تكلفة 1 +) (التكلفة 1) # يصبح # الخطيئة ^ 2T #:

# (الخطيئة ^ 2T + الخطيئة ^ 2T) / ((التكلفة 1) (سينت)) = (2 (1 + التكلفة)) / سينت #

# -> (2sin ^ 2T) / ((التكلفة 1) (سينت)) = (2 (1 + التكلفة)) / سينت #

لاحظ أن الجيب يلغي:

# (2cancel (الخطيئة ^ 2T) ^ سينت) / ((التكلفة 1) إلغاء ((سينت))) = (2 (1 + التكلفة)) / سينت #

# -> (2sint) / (1-التكلفة) = (2 (1 + التكلفة)) / سينت #

نحن على وشك الانتهاء. الخطوة الأخيرة هي ضرب الجانب الأيسر من خلال اقتران # تكلفة 1-# (الذي # 1 + تكلفة #) ، للاستفادة من اختلاف خاصية المربعات:

# (2sint) / (1-التكلفة) (1 التكلفة +) / (1 + التكلفة) = (2 (1 + التكلفة)) / سينت #

# -> (2sint (1 + التكلفة)) / ((التكلفة 1) (1 + التكلفة)) = (2 (1 + التكلفة)) / سينت #

مرة أخرى ، يمكننا أن نرى ذلك # (1-التكلفة) (1 التكلفة +) # هو اختلاف المربعات ، مع # ل= 1 # و # ب = تكلفة #. ويقيم ل # (1) ^ 2- (التكلفة) ^ 2 #أو # 1-جتا ^ 2T #. لقد أظهرنا ذلك بالفعل # الخطيئة ^ 2T = 1-جتا ^ 2T #، لذلك يتم استبدال القاسم:

# (2sint (1 + التكلفة)) / (الخطيئة ^ 2T) = (2 (1 + التكلفة)) / سينت #

إلغاء الجيوب:

# (2cancel (سينت) (1 + التكلفة)) / (إلغاء (الخطيئة ^ 2T) ^ سينت) = (2 (1 + التكلفة)) / سينت #

وفويلا ، دليل كامل:

# (2 (1 + التكلفة)) / سينت = (2 (1 + التكلفة)) / سينت #

إجابة:

دعني اجرب

تفسير:

# LHS = سينت / (1-التكلفة) + (1 + التكلفة) / سينت #

فحص rhs نأخذ المشتركة# (1 + التكلفة) / سينت #

وبالتالي

# LHS = (1 + التكلفة) / سينت (سينت / (1 + التكلفة) / (تكلفة 1-سينت *) +1) #

# = (1 + التكلفة) / سينت (الخطيئة ^ 2T / (1-جتا ^ 2T) +1) #

# = (1 + التكلفة) / سينت (الخطيئة ^ 2T / الخطيئة ^ 2T + 1) #

# = (1 + التكلفة) / سينت (1 + 1) #

# = (2 (1 + التكلفة)) / سينت = RHS #

اثبت