يتم إسقاط الكرة مباشرة لأسفل من ارتفاع 12 قدم. عند الوصول إلى الأرض ، يرتد بمقدار 1/3 من المسافة التي سقطت فيها. إلى أي مدى ستسير الكرة (للأعلى والأسفل) قبل أن تأتي للراحة؟

إجابة:

سوف الكرة السفر 24 قدما.

تفسير:

هذه المشكلة تتطلب النظر في سلسلة لانهائية. النظر في السلوك الفعلي للكرة:

أولا تسقط الكرة 12 قدما.

بعد ذلك ترتد الكرة لأعلى #12/3 = 4# أقدام.

الكرة ثم يسقط 4 أقدام.

في كل ترتد متتالي ، تسافر الكرة

# 2 * 12 / (3 ^ n) = 24/3 ^ n # القدمين ، أين # ن # هو عدد مرات الارتداد

وبالتالي ، إذا تخيلنا أن الكرة تبدأ من # ن = 0 #ثم يمكن الحصول على إجابتنا من السلسلة الهندسية:

# sum_ (n = 0) ^ infty 24/3 ^ n - 12 #

لاحظ ال #-12# مصطلح تصحيح ، وهذا لأنه إذا بدأنا من # ن = 0 # نحن نعول على الارتداد 0 من 12 قدما صعودا و 12 قدما. في الواقع الكرة يسافر فقط نصف ذلك ، حيث يبدأ في الجو.

يمكننا تبسيط المبلغ لدينا إلى:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 #

هذه مجرد سلسلة هندسية بسيطة تتبع القاعدة التالية:

#lim_ (n-> infty) sum_ (i = 0) ^ n r ^ i = 1 / (1 - r) #

طالما # | ص | <1 #

هذا يؤدي إلى حل بسيط لمشكلتنا:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 = 24 * 1 / (1-1 / 3) - 12 #

# = 24*1/(2/3) - 12 = 24*3/2 -12 #

#= 36 - 12 = 24# أقدام.