إثبات أن المنحنيات x = y ^ 2 و xy = k مقطوعة بالزاوية الصحيحة إذا كانت 8k ^ 2 = 1؟

إجابة:

#-1#

تفسير:

# 8k ^ 2 = 1 #

# ك ^ 2 = 1/8 #

# ك = قدم مربع (1/8) #

#x = y ^ 2 #, #xy = sqrt (1/8) #

المنحنيات هما

#x = y ^ 2 #

و

#x = sqrt (1/8) / y أو x = sqrt (1/8) y ^ -1 #

للمنحنى #x = y ^ 2 #، المشتق فيما يتعلق # ذ # هو # # 2Y.

للمنحنى #x = sqrt (1/8) y ^ -1 #، المشتق فيما يتعلق # ذ # هو # -sqrt (1/8) ص ^ -2 #.

النقطة التي يجتمع عندها المنحنيان هي متى # y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 3 = sqrt (1/8) #

#y = sqrt (1/2) #

منذ #x = y ^ 2 #, #x = 1/2 #

النقطة التي تلتقي المنحنيات هي # (1/2 ، sqrt (1/2)) #

متى #y = sqrt (1/2) #, # 2y = 2sqrt (1/2) #.

التدرج من الظل إلى المنحنى #x = y ^ 2 # هو # 2 sqrt (1/2) ، أو 2 / (sqrt2) #.

متى #y = sqrt (1/2) #, # -sqrt (1/8) y ^ -2 = -2sqrt (1/8) #.

التدرج من الظل إلى المنحنى #xy = sqrt (1/8) # هو # -2srtrt (1/8) ، أو -2 / (sqrt8) #.

# (2 / sqrt2) * -2 / (sqrt * 8) = -4 / (sqrt16) = -4/4 = -1 #

نحن نسعى لشرط #ك# بحيث المنحنيات # س = ص ^ 2 # و # س ص = ك # "قطع في الزوايا الصحيحة". وهذا يعني رياضيا أن المنحنيات يجب أن تكون متعامدة ، وهذا بدوره يعني أن الظلال في المنحنيات في جميع النقاط أي نقطة معينة هي عمودي.

إذا فحصنا عائلة المنحنيات لقيم مختلفة #ك# نحن نحصل:

نلاحظ على الفور أننا نبحث عن نقطة واحدة حيث يكون المماس عمودي ا ، لذا بشكل عام فإن المنحنيات ليست متعامدة في جميع النقاط.

أولا دعونا نجد غير مرتبطة تنسيق، # P #، من نقطة التقاطع ، وهو الحل المتزامن لـ:

# {(y ^ 2 = x، …… A) ، (xy = k ، …… B):} #

استبدال Eq A في B نحصل على:

# (y ^ 2) y = k => y ^ 3 = k => y = root (3) (k) #

وهكذا ننشئ إحداثيات التقاطع:

# P (k ^ (2/3) ، k ^ (1/3)) #

نحتاج أيض ا إلى تدرجات الظل في هذا الإحداثي. للمنحنى الأول:

# y ^ 2 = x => 2y dy / dx = 1 #

لذلك التدرج من الظل ، # # M_1، إلى المنحنى الأول في # P # هو:

# (2k ^ (1/3)) m_1 = 1 => m_1 = 1 / (2k ^ (1/3)) = 1 / 2k ^ (- 1/3) #

وبالمثل ، بالنسبة للمنحنى الثاني:

# xy = k => y = k / x => dy / dx = -k / x ^ 2 #

لذلك التدرج من الظل ، # # m_2، إلى المنحنى الثاني في # P # هو:

# m_2 = -k / (k ^ (2/3)) ^ 2 #

# = -k ^ (- 1/3) #

إذا كان هذان الظلان عموديان ، فإننا نطلب ما يلي:

# m_1m_2 = -1 #

#:. (1 / 2k ^ (- 1/3)) (-k ^ (- 1/3)) = -1 #

#:. ك ^ (- 2/3) = 2 #

#:. (ك ^ (- 2/3)) ^ (3/2) = 2 ^ (3/2) #

#:. ك ^ (- 1) = 2 ^ (3/2) #

#:. (1 / ك) ^ 2 = 2 ^ 3 #

#:. 1 / ك ^ 2 = 8 #

مما يؤدي إلى النتيجة المعطاة:

# 8k ^ 2 = 1 # وهو المطلوب

ومع هذه القيمة #ك#