ما هو مشتق (x ^ 2 + x) ^ 2؟

إجابة:

# y ^ '= 4x4 ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x #

تفسير:

يمكنك التمييز بين هذه الوظيفة باستخدام مجموع و قواعد السلطة. لاحظ أنه يمكنك إعادة كتابة هذه الوظيفة كـ

#y = (x ^ 2 + x) ^ 2 = x (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 * (x + 1) ^ 2 #

#y = x ^ 2 * (x ^ 2 + 2x + 1) = x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2 #

الآن ، تخبرك قاعدة المبلغ عن الوظائف التي تأخذ النموذج

#y = sum_ (i = 1) ^ (oo) f_i (x) #

يمكنك العثور على مشتق من # ذ # عن طريق إضافة مشتقات تلك الوظائف الفردية.

#color (أزرق) (d / dx (y) = f_1 ^ '(x) + f_2 ^' (x) + … #

في قضيتك ، لديك

# y ^ '= d / dx (x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2) #

# y ^ '= d / dx (x ^ 4) + d / dx (2x ^ 2) + d / dx (x ^ 2) #

# y ^ '= d / dx (x ^ 4) * 2d / dx (x ^ 3) * d / dx (x ^ 2) #

للتمييز بين هذه الكسور ، استخدم قاعدة القدرة

#color (blue) (d / dx (x ^ a) = ax ^ (a-1)) #

لذلك ، سوف مشتق الخاص بك يخرج ليكون

# y ^ '= 4x ^ (4-1) + 2 * 3x ^ (3-1) + 2x ^ (2-1) #

# y ^ '= اللون (الأخضر) (4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x) #

بدلا من ذلك، يمكنك استخدام قاعدة السلسلة للتمييز # ذ #.

#color (blue) (d / dx (y) = d / (du) (y) * d / dx (u)) #

في قضيتك ، لديك #y = u ^ 2 # و # u = x ^ 2 + x #، حتى تحصل عليه

# dy / (dx) = d / (du) u ^ 2 * d / dx (x ^ 2 + x) #

# dy / dx = 2u * (2x + 1) #

# dy / dx = 2 (x ^ 2 + x) * (2x + 1) #

# dy / dx = (2x ^ 2 + 2x) * (2x + 1) #

# dy / dx = 4x ^ 3 + 2x ^ 2 + 4x ^ 2 + 2x = color (أخضر) (4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x) #