ما هي النقاط القصوى والسرج لـ f (x، y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) على الفاصل x، y في [-pi، pi]؟

إجابة:

تفسير:

نحن لدينا:

# f (x، y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) #

# = -6sinxsin ^ 2y #

الخطوة 2 - تحديد النقاط الحرجة

نقطة حرجة يحدث في وقت واحد من حل

# f_x = f_y = 0 iff (جزئي f) / (جزئي x) = (جزئي f) / (جزئي y) = 0 #

أي عندما:

# {: (f_x = -6cosxsin ^ 2y ، = 0 ، … A) ، (f_y = -6sinxsin2y ، = 0 ، … B):}}} # الوقت ذاته

النظر في المعادلة A

# -6cosxsin ^ 2y = 0 #

ثم لدينا حلان:

# cosx = 0 => x = + - pi / 2 #

# sin y = 0 => y = 0، + - pi #

الآن ، دعونا نستخدم Eq B للعثور على الإحداثي المقابل:

# x = + -pi / 2 => sin2y = 0 #

# >> 2y = + -pi ، + - 2pi => y = + - pi / 2 ، + -pi #

# y = 0 ، + - pi => x في RR # (المزاريب)

مما يعطينا النقاط المهمة التالية:

# (+ -pi / 2 ، + -pi / 2) # (4 نقاط حرجة)

# (+ -pi / 2 ، + -pi) # (4 نقاط حرجة)

# (ألفا ، 0) AA ألفا في RR # (خط مزراب)

# (alpha، + -pi) AA alpha في RR # (2 خطوط مزراب)

النظر في المعادلة B

# -6sinxsin2y = 0 #

ثم لدينا حلان:

# sinx = 0 => x = 0 ، + - pi #

# sin2y = 0 => 2y = 0 + - pi ، + -2 نقطة في البوصة

# => y = 0 ، + -pi / 2 ، + - pi #

الآن ، دعونا نستخدم المعادلة A للعثور على الإحداثي المقابل @

# x = 0 ، + - pi => siny = 0 => y = 0 ، + - pi # (يكرر أعلاه)

# y = 0 => x في RR # (كرر أعلاه)

# y = + -pi / 2 => cosx = 0 #

# => س = + - بي / 2 # (يكرر أعلاه)

مما لا يعطينا أي نقاط حرجة إضافية:

الخطوة 3 - تصنيف النقاط الحرجة

من أجل تصنيف النقاط الحرجة ، نجري اختبار ا مشابه ا لاختبار حساب التفاضل والتكامل المتغير باستخدام المشتقات الجزئية الثانية ومصفوفة هيسيان.

# Delta = H f (x، y) = | (f_ (x x) f_ (xy)) ، (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((جزئي ^ 2 f) / (جزئي x ^ 2) ، (جزئي ^ 2 f) / (جزئي x جزئي y)) ، ((جزئي ^ 2 f) / (جزئي y جزئي x) ، (جزئي ^ 2 f) / (جزئية y ^ 2)) | = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

ثم اعتمادا على قيمة # دلتا #:

# {: (Delta> 0 ، "هناك حد أقصى إذا كان" f_ (xx) <0) ، (، "والحد الأدنى إذا كان" f_ (xx)> 0) ، (Delta <0 ، "هناك نقطة سرج")) ، (دلتا = 0 ، "مزيد من التحليل ضروري"):} #

باستخدام وحدات ماكرو excel المخصصة ، يتم حساب قيم الدوال إلى جانب القيم المشتقة الجزئية على النحو التالي:

هنا مؤامرة وظيفة

ولعبة مع النقاط الحرجة (والمزاريب)