ما هو جذر المكعب لـ (sqrt3-i)؟

أود أن أبدأ بتحويل الرقم إلى نموذج مثلثي:

# ض = الجذر التربيعي (3) -i = 2 كوس (-pi / 6) + كود الترقيم الدولي (-pi / 6) #

يمكن كتابة جذر المكعب لهذا الرقم على النحو التالي:

# ض ^ (1/3) #

الآن مع وضع هذا في الاعتبار ، يمكنني استخدام صيغة القوة التاسعة لعدد معقد في شكل مثلثي:

# ض ^ ن = ص ^ ن كوس (ntheta) + كود الترقيم الدولي (ntheta) # إعطاء:

# ض ^ (1/3) = 2 ^ (1/3) كوس (-pi / 6 * 1/3) + كود الترقيم الدولي (-pi / 6 * 1/3) = #

# = 2 ^ (1/3) كوس (-pi / 18) + كود الترقيم الدولي (-pi / 18) #

وهو في مستطيل: # # 4.2-0.7i

لا يمكنني أن أتفق تمام ا مع إجابة Gió ، لأنها غير كاملة وأيض ا (بشكل رسمي).

الخطأ الرسمي في استخدام صيغة دي موفري مع الأس غير عدد صحيح. يمكن تطبيق صيغة De Moivre على عدد صحيح فقط. مزيد من التفاصيل حول هذا على صفحة ويكيبيديا

هناك ستجد امتدادا جزئيا للصيغة ، للتعامل معها # ن #جذور -th (أنه ينطوي على المعلمة خارج #ك#): إذا # z = r (cos theta + i sin theta) #، ثم

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos ((theta + 2 k pi) / n) + i sin ((theta + 2 k pi) / n)) # أين # ك = 0 ، … ، ن -1.

واحد (وبمعنى ما ال) خاصية أساسية جدا من الأرقام المعقدة هي أن # ن #-جذور لها … # ن # جذور (حلول)! المعلمة #ك# (الذي يختلف بين #0# و # ن # 1، وبالتالي # ن # القيم) يتيح لنا تلخيصها في صيغة واحدة.

لذا فإن جذور المكعب لديها ثلاثة حلول وإيجاد واحد منها لا يكفي: إنه مجرد "#1/3# الحل ".

سأكتب حل اقتراحي أدناه. التعليقات هي موضع ترحيب!

كما اقترح Gió بشكل صحيح ، فإن الخطوة الأولى هي التعبير # ض = الجذر التربيعي {3} -i # في شكله مثلثي #r (cos theta + i sin theta) #. عند التعامل مع الجذور ، يكون النموذج المثلثي (تقريب ا) دائم ا أداة مفيدة (مع النموذج الأسي). لقد حصلت:

# ص = الجذر التربيعي {س ^ 2 + ص ^ 2} = الجذر التربيعي {(الجذر التربيعي {3}) ^ 2 + (- 1) ^ 2} = الجذر التربيعي {3 + 1} = الجذر التربيعي {4} = 2 #

# theta = arctan (y / x) = arctan (- 1 / sqrt {3}) = - pi / 6 #

وبالتالي # z = r (cos theta + i sin theta) = 2 (cos (-pi / 6) + i sin (-pi / 6)) #

الآن تريد حساب الجذور. حسب الصيغة المذكورة أعلاه ، نحصل على:

# z ^ {1/3} = r ^ {1/3} (cos ((theta + 2 k pi) / 3) + i sin ((theta + 2 k pi) / 3)) = 2 ^ {1 / 3} (cos ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3)) #

أين # ك = 0 ، 1 ، 2 #. لذلك هناك ثلاث قيم مختلفة لل #ك# (#0#, #1# و #2#) التي تلد ثلاثة جذور معقدة مختلفة من # ض #:

# z_0 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 0) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 0) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (- نقطة في البوصة / 18) + أخطئ (- البوصة / 18)) #

# z_1 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 2 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-11/18 pi) + i sin (-11/18 pi)) #

# z_2 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 4 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 4 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-23/18 pi) + i sin (-23/18 pi)) #

# # z_0, # # z_1 و # # z_2 هي الحلول الثلاثة.

التفسير الهندسي لصيغة # ن # الجذور هي مفيدة جدا لرسم الحلول في الطائرة المعقدة. كما تشير المؤامرة بشكل جيد للغاية إلى خصائص الصيغة.

بادئ ذي بدء ، يمكننا أن نلاحظ أن جميع الحلول لها نفس المسافة # ص ^ {1 / ن} # (في مثالنا #2^{1/3}#) من الأصل. لذلك كلهم يكذبون على محيط دائرة نصف قطرها # ص ^ {1 / ن} #. الآن علينا أن نشير أين لوضعها على هذا محيط. يمكننا إعادة كتابة حجج الجيب وجيب التمام بالطريقة التالية:

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos (theta / n + (2pi) / n k) + i sin (theta / n + (2pi) / n k)) #

الجذر "الأول" يتوافق مع # ك = 0 #:

# z_0 = r ^ {1 / n} (cos (theta / n) + i sin (theta / n)) #

يمكن الحصول على جميع الجذور الأخرى من هذا بإضافة الزاوية # (2pi) / ن # بشكل متكرر إلى الزاوية # ثيتا / ن # بالنسبة إلى الجذر الأول # # z_0. لذلك نحن نتحرك # # z_0 على محيط بواسطة دوران # (2pi) / ن # راديان (# (360 درجة) / ن #). لذلك تقع النقاط على قمم العادية # ن #-gon. بالنظر إلى واحد منهم ، يمكننا أن نجد الآخرين.

في حالتنا هذه:

حيث الزاوية الزرقاء # ثيتا / ن = -pi / 18 # والأرجواني واحد هو # (2pi) / n = 2/3 pi #.