إجابة:
# {: ("نقطة حرجة" ، "استنتاج") ، ((0،0) ، "دقيقة") ، ((-1 ، -2) ، "سرج") ، ((-1،2) ، "سرج ") ، ((-5 / 3،0) ،" الحد الأقصى "):} #
تفسير:
نظرية التعرف على الانبثاق
- حل في وقت واحد المعادلات الحرجة
# (جزئي f) / (جزئي x) = (جزئي f) / (جزئي y) = 0 # (أي# z_x = z_y = 0 # ) - تقييم
#f_ (x x) ، f_ (yy) و f_ (xy) (= f_ (yx)) # في كل من هذه النقاط الحرجة. وبالتالي تقييم# Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # في كل من هذه النقاط - تحديد طبيعة extrema.
# {: (Delta> 0 ، "هناك حد أدنى إذا كان" f_ (xx) <0) ، (، "والحد الأقصى إذا كان" f_ (yy)> 0) ، (Delta <0 ، "هناك نقطة سرج")) ، (دلتا = 0 ، "مزيد من التحليل ضروري"):} #
اذا لدينا:
# f (x، y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 #
دعونا نجد المشتقات الجزئية الأولى:
# (جزئي f) / (جزئي x) = 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x #
# (جزئي f) / (جزئي y) = 2xy + 2y #
لذلك المعادلات الحرجة لدينا هي:
# 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0 #
# 2xy + 2y = 0 #
من المعادلة الثانية لدينا:
# 2y (x + 1) = 0 => x = -1 ، y = 0 #
الغواصات
# 6 + y ^ 2-10 = 0 => y ^ 2 = 4 => y = + - 2 #
الغواصات
# 6x ^ 2 + 0 ^ 2 + 10x = 0 => 2x (3x + 5) = 0 => x = -5 / 3،0 #
و هكذا لدينا أربعة النقاط الحرجة مع الإحداثيات.
# (-1,-2), (-1,2), (0,0), (-5/3,0) #
لذا ، دعونا الآن نلقي نظرة على المشتقات الجزئية الثانية حتى نتمكن من تحديد طبيعة النقاط الحرجة:
# (جزئي ^ 2f) / (جزئي x ^ 2) = 12x + 10 #
# (جزئي ^ 2f) / (جزئي y ^ 2) = 2x + 2 #
# (جزئي ^ 2f) / (جزئي x جزئي y) = 2y (= (جزئي ^ 2f) / (جزئي جزئي x x)) #
ويجب علينا حساب:
# Delta = (جزئي ^ 2f) / (جزئي x ^ 2) (جزئي ^ 2f) / (جزئي y ^ 2) - ((جزئي ^ 2f) / (جزئي x جزئي y)) ^ 2 #
في كل نقطة حرجة. القيم المشتقة الجزئية الثانية ،
# {: ("Critical Point" ، (جزئي ^ 2f) / (جزئي x ^ 2) ، (جزئي ^ 2f) / (جزئي y ^ 2) ، (جزئي ^ 2f) / (جزئي x جزئي y) ، دلتا ، "الخاتمة") ، ((0،0) ، 10،2،0 ، gt 0 ، f_ (xx)> 0 => "دقيقة") ، ((-1 ، -2) ، - 2،0،4 ، lt 0، "saddle")، ((-1،2)، - 2،0،4، lt 0، "saddle")، ((-5 / 3،0)، - 10، -4 / 3،0 ، gt 0، f_ (xx) <0 => "max"):} #
يمكننا أن نرى هذه النقاط الحرجة إذا نظرنا إلى مؤامرة ثلاثية الأبعاد:
