# rarrtan75 ° = تان (45 + 30) #
# = (tan45 + tan30) / (1-tan45 * tan30) #
# = (1+ (1 / الجذر التربيعي (3))) / (1- (1 / الجذر التربيعي (3)) #
# = (الجذر التربيعي (3) +1) / (الجذر التربيعي (3) -1) = 2 + الجذر التربيعي (3) #
# rarrtan52.5 = المهد (90-37،5) = cot37.5 #
# rarrcot37.5 = 1 / (تان (75/2)) #
# rarrtanx = (2tan (س / 2)) / (1-تان ^ 2 (س / 2)) #
# rarrtanx-tanx * تان ^ 2 (س / 2) = 2tan (س / 2) #
# rarrtanx * تان ^ 2 (س / 2) + 2tan (س / 2) -tanx = 0 #
وهو من الدرجة الثانية في #tan (س / 2) # وبالتالي،
#rarrtan (س / 2) = (- 2 + الجذر التربيعي (2 ^ 2-4 * tanx * (- tanx))) / (2 * tanx) #
#rarrtan (س / 2) = (- 2 + الجذر التربيعي (4 (1 + تان ^ 2X))) / (2 * tanx) #
#rarrtan (س / 2) = (- 1 + الجذر التربيعي (1 + تان ^ 2X)) / tanx #
وضع # س = 75 # نحن نحصل
#rarrtan (75/2) = (- 1 + الجذر التربيعي (1 + تان ^ 2 (75))) / (tan75) #
#rarrtan (75/2) = (- 1 + الجذر التربيعي (1+ (2 + الجذر التربيعي (3)) ^ 2)) / (2 + الجذر التربيعي (3)) #
#rarrtan (75/2) = (- 1 + الجذر التربيعي (1 + 4 + 4sqrt (3) +3)) / (2 + الجذر التربيعي (3)) #
#rarrtan (75/2) = (- 1 + الجذر التربيعي (8 + 4sqrt (3))) / (2 + الجذر التربيعي (3)) #
# rarr1 / تان (75/2) = (2 + الجذر التربيعي (3)) / (2 * الجذر التربيعي (2 + الجذر التربيعي (3)) - 1) * (2 * الجذر التربيعي (2 + الجذر التربيعي (3)) + 1) / (2 * الجذر التربيعي (2 + الجذر التربيعي (3) +1) #
# rarrcot37.5 = (2 * (2 * الجذر التربيعي (2 + الجذر التربيعي (3)) + 1) + الجذر التربيعي (3) * (2 * الجذر التربيعي (2 + الجذر التربيعي (3)) + 1)) / ((2 * الجذر التربيعي (2 + الجذر التربيعي (3))) ^ 2-1 ^ 2) #
سمح #sqrt (2 + الجذر التربيعي (3)) = أ #
# rarrcot37.5 = (2 * (2 * ل+ 1) + الجذر التربيعي (3) * (2 * ل+ 1)) / ((4 * (2 + الجذر التربيعي (3))) ^ 2-1) #
# rarrcot37.5 = (4A + 2 + 2sqrt (3) + الجذر التربيعي (3)) / ((4 * (2 + الجذر التربيعي (3)) - 1) #
# rarrcot37.5 = (4A + 2sqrt (3) + ل^ 2) / (7 + 4sqrt (3)) * (7-4sqrt (3)) / (7-4sqrt (3)) #
# rarrcot37.5 = 7 * (4A + 2sqrt (3) + ل^ 2) -4sqrt (3) * (4A + 2sqrt (3) + ل^ 2) #
# rarrcot37.5 = 28A + 14sqrt (3) + 7A ^ 2-16sqrt (3)-24A-4sqrt (3) ^ 2 #
# rarrcot37.5 = 7A ^ 2-4sqrt (3) ^ 2 + 4A-2sqrt (3) #
# rarrcot37.5 = و^ 2 (7-4sqrt (3)) + 2 * ل(2-الجذر التربيعي (3)) #
# rarrcot37.5 = (2 + الجذر التربيعي (3)) (7-4sqrt (3)) + 2 * الجذر التربيعي (2 + الجذر التربيعي (3)) * الجذر التربيعي ((2-الجذر التربيعي (3))) * الجذر التربيعي ((2 -sqrt (3))) #
# rarrcot37.5 = 2 * (7-4sqrt (3)) + الجذر التربيعي (3) (7-4sqrt (3)) + الجذر التربيعي (2 ^ 2 * (2-الجذر التربيعي (3))) #
# rarrcot37.5 = 14-8sqrt (3) + 7sqrt (3) -12 + الجذر التربيعي ((الجذر التربيعي (6) -sqrt (2)) ^ 2) #
# rarrtan52.5 = 2-الجذر التربيعي (3) + الجذر التربيعي (6) -sqrt (2) #
اثبت.
إجابة:
نهج أصغر …
القواعد المستخدمة: -
# اللون (الأحمر) (ul (الشريط (| اللون (الأخضر) (sin2theta = 2 cdot sintheta cdot costheta)) | #
# cos2theta = 2cos ^ 2theta-1 #
# => اللون (الأحمر) (المجاهدين (شريط (| اللون (الأزرق) (2cos ^ 2theta = 1 + cos2theta)) | #
تفسير:
#tan (52.5 ^ @) #
# = الخطيئة (52.5 ^ @) / كوس (52.5 ^ @) #
# = الخطيئة (105/2) ^ @ / كوس (105/2) ^ @ #
# = (2 cdot sin (105/2) ^ @ cdot cos (105/2) ^ @) / (2 cdot cos (105/2) ^ @ cdot cos (105/2) ^ @ #
# = sin (105/2 xx2) ^ @ / (2 cdot cos ^ 2 (105/2) ^ @ #
# = الخطيئة (105) ^ @ / (كوس (105) ^ @ + 1) #
# = الخطيئة (60 ^ @ + 45 ^ @) / (كوس (60 ^ @ + 45 ^ @) + 1) #
# = (sin60 ^ @ cdot cos45 ^ @ + cos60 ^ @ cdot sin45 ^ @) / (cos60 ^ @ cdot cos45 ^ @ -sin60 ^ @ cdot sin45 ^ @ + 1 #
# = (sqrt3 / 2 cdot 1 / sqrt2 + 1/2 cdot 1 / sqrt2) / (1/2 cdot 1 / sqrt2-sqrt3 / 2 cdot 1 / sqrt2 + 1 #
# = ((sqrt3 + 1) / (2sqrt2)) / ((1-sqrt3 + 2sqrt2) / (2sqrt2) #
# = (sqrt3 + 1) / (1-sqrt3 + 2sqrt2 #
# = ((sqrt3 + 1) cdot (1 + 2sqrt2 + sqrt3)) / ((1 + 2sqrt2) ^ 2- ((sqrt3) ^ 2) #
# = (sqrt3 + 2sqrt6 + 3 + 1 + 2sqrt2 + sqrt3) / (1 + 4sqrt2 + 8-3) #
# = (2 (sqrt6 + sqrt3 + sqrt2 + 2)) / (6 + 4sqrt2) #
# = ((sqrt6 + sqrt3 + sqrt2 + 2)) / (3 + 2sqrt2) #
# = ((3-2sqrt2) (sqrt6 + sqrt3 + sqrt2 + 2)) / ((3 + 2sqrt2) (3-2sqrt2) #
# = (sqrt6-sqrt3-sqrt2 + 2) / 1 #
# = sqrt6-sqrt3-sqrt2 + 2 #
آمل أن يساعد …
شكرا لكم…
# tan105 ^ @ = تان (60 ^ @ + 45 ^ @) #
# => tan105 ^ @ = (tan60 ^ @ + tan45 ^ @) / (1-tan60 ^ @ tan45 ^ @) #
# => tan105 ^ @ = (sqrt3 + 1) / (1-sqrt3 * 1) #
# => tan105 ^ @ = (1 + sqrt3) / (1-sqrt3) #
# => tan105 ^ @ = - ((sqrt3 + 1) (sqrt3-1)) / (sqrt3-1) ^ 2 #
# => tan105 ^ @ = - (3-1) / (4-2sqrt3) #
# => (2tan52.5 ^ @) / (1-tan ^ 2 52.5 ^ @) = - 1 / (2-sqrt3) #
سمح #tan52.5^@=x#
الآن
# (2X) / (1-س ^ 2) = - 1 / (2-sqrt3) #
# => س ^ 2-2 (2-sqrt3) × 1 = 0 #
# => س = (2 (2-sqrt3) + الجذر التربيعي (4 (2-sqrt3) ^ 2 + 4)) / 2 #
مثل #52.5^@in "جذر الربع الأول المهملة" #
# => س = (2 (2-sqrt3) + 2sqrt ((2-sqrt3) ^ 2 + 1)) / 2 #
# => س = (2-sqrt3) + الجذر التربيعي ((2-sqrt3) ^ 2 + 1) #
# => س = (2-sqrt3) + الجذر التربيعي (8-4sqrt3) #
# => س = (2-sqrt3) + الجذر التربيعي (2 (4-2sqrt3) #
# => س = (2-sqrt3) + الجذر التربيعي (2 (sqrt3-1) ^ 2) #
# => س = 2-sqrt3 + sqrt2 (sqrt3-1) #
# => س = 2-sqrt3 + sqrt6-sqrt2 #
# => س = sqrt6-sqrt3-sqrt2 + 2 #
