ما هي سلسلة تايلور من f (x) = arctan (x)؟

# F (س) = sum_ {ن = 1} ^ infty (-1) ^ ن {س ^ {2N + 1}} / {2N + 1} #

دعونا نلقي نظرة على بعض التفاصيل.

# F (س) = arctanx #

# F '(س) = 1 / {1 + س ^ 2} = 1 / {1 - (- س ^ 2)} #

تذكر أن سلسلة الطاقة الهندسية

# 1 / {1-x} = sum_ {n = 0} ^ infty x ^ n #

بتعويض # # س بواسطة # -x ^ 2 #, #Rightarrow 1 / {1 - (- x ^ 2)} = sum_ {n = 0} ^ infty (-x ^ 2) ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

وبالتالي،

# F '(س) = sum_ {ن = 0} ^ infty (-1) ^ ^ NX {2N} #

من خلال دمج ،

#f (x) = int sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx #

عن طريق وضع علامة متكاملة داخل الجمع ،

# = sum_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ n x ^ {2n} dx #

بواسطة سلطة القاعدة ،

# = sum_ {ن = 1} ^ infty (-1) ^ ن {س ^ {2N + 1}} / {2N + 1} + C #

منذ # F (0) = ظل الزاوية القوسي (0) = 0 #, #f (0) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {(0) ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C = C Rightarrow C = 0 #

بالتالي،

# F (س) = sum_ {ن = 1} ^ infty (-1) ^ ن {س ^ {2N + 1}} / {2N + 1} #