ما هي مساحة أكبر مستطيل يمكن إدراجه في القطع الناقص: 9 (x ^ 2) + 4 (y ^ 2) = 36؟

إجابة:

#A = 12 #

تفسير:

# 9 (x ^ 2) + 4 (y ^ 2) = 36 equiv x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

يمكن طرح المشكلة على النحو التالي:

العثور على ماكس # # س ص أو ما يعادلها ماكس # س ^ 2Y ^ 2 # مثل ذلك

# x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

صنع الآن #X = x ^ 2 ، Y = y ^ 2 # المشكلة تعادل

تجد #max (X * Y) # تخضع الى # X / 4 + Y / 9 = 1 #

lagrangian لتحديد النقاط الثابتة هو

#L (X، Y، lambda) = X * Y + lambda (X / 4 + Y / 9-1) #

الظروف ثابتة

#grad L (X، Y، lambda) = vec 0 #

أو

# {(lambda / 2 + Y = 0) ، (lambda / 9 + X = 0) ، (X / 2 + Y / 9 - 1 = 0):} #

حل ل # X، Y، لامدا # يعطي

# {X_0 = 2 ، Y_0 = 9/2 ، lambda_0 = -18} #

وبالتالي # {x_0 = sqrt (2) ، y_0 = 3 / sqrt (2)} #

#A = 4 x_0 y_0 = 4 xx3 = 12 #