ما هو cos [sin ^ (- 1) (- 1/2) + cos ^ (- 1) (5/13)]؟

إجابة:

#rarrcos كوس ^ (- 1) (13/05) + الخطيئة ^ (- 1) (- 1/2) = (12 + 5sqrt3) / 26 #

تفسير:

#rarrcos كوس ^ (- 1) (13/05) + الخطيئة ^ (- 1) (- 1/2) #

# = كوس كوس ^ (- 1) (13/05) -sin ^ (- 1) (1/2) #

# = كوس كوس ^ (- 1) (13/05) -cos ^ (- 1) (sqrt3 / 2) #

الآن ، باستخدام #cos ^ (- 1) س-جتا ^ (- 1) ص = س ص + الجذر التربيعي ((1-س ^ 2) * (1-ص ^ 2)) #، نحن نحصل،

#rarrcos كوس ^ (- 1) (13/05) -sin ^ (- 1) (1/2) #

# = كوس (كوس ^ (- 1) (13/05 * sqrt3 / 2 + الجذر التربيعي ((1- (13/05) ^ 2) * (1- (الجذر التربيعي (3) / 2) ^ 2)))) #

# = (5sqrt3) / 26 + 12/26 #

# = (12 + 5sqrt3) / 26 #

إجابة:

بواسطة صيغة زاوية المبلغ هذا

# cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - sin (arcsin (-1/2)) sin (arccos (5/13)) #

# = (pm sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (pm 12/13) #

# = pm {5 sqrt {3}} / 6 pm 6/13 #

تفسير:

#x = cos (arcsin (1/2) + arccos (5/13)) #

هذه الأسئلة مربكة بدرجة كافية مع تدوين الوظيفة العكسية غير تقليدي. المشكلة الحقيقية في أسئلة مثل هذه هي أنه من الأفضل عموم ا التعامل مع الوظائف العكسية باعتبارها متعددة القيم ، مما قد يعني أن التعبير له قيم متعددة أيض ا.

يمكننا أن ننظر أيضا في قيمة # # س بالنسبة للقيمة الرئيسية للوظائف المعكوسة ، ولكني سأترك ذلك للآخرين.

على أي حال ، هذا هو جيب تمام مجموع الزاويتين ، وهذا يعني أننا نستخدم صيغة زاوية المجموع:

#cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b #

# x = cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - sin (arcsin (-1/2)) sin (arccos (5/13)) #

جيب تمام جيب تمام معكوس وجيب جيب معكوس سهل. جيب تمام الجيب العكسي وجيب جيب التمام العكسي واضحان أيض ا ، لكن يوجد مكان القضية المتعددة القيم.

سيكون هناك عموم ا زاويتان غير عقديتان تشتركان في جيب تمام معين ، ونفي كل منهما للآخر ، وستكون جيبه نفي ا لبعضهما البعض. سيكون هناك عموم ا زاويتان غير عقديتان تشتركان في جيب معين ، زاويتان تكميليتان ، والتي سيكون لها جيب التمام الذي ينفي بعضها البعض. لذلك في كلا الاتجاهين نحن مع #مساء#. سيكون لدينا المعادلة اثنين #مساء# ومن المهم أن نلاحظ أنها مستقلة وغير مرتبطة.

لنأخذ #arcsin (-1/2) # أول. هذا بالطبع واحد من كليشيهات علم حساب المثلثات ، # -30 ^ CIRC # أو # -150 ^ CIRC #. سوف جيب التمام يكون # + sqrt {3} / 2 # و # - sqrt {3} / 2 # على التوالي.

لا نحتاج حق ا إلى النظر في الزاوية. يمكننا أن نفكر في المثلث الصحيح مع عكس 1 و hypotenuse 2 والتوصل إلى مجاور # الجذر التربيعي {3} # وجيب التمام # pm sqrt {3} / 2 #. أو إذا كان هذا الكثير من التفكير ، منذ ذلك الحين # cos ^ 2theta + sin ^ 2 theta = 1 # ثم #cos (theta) = pm sqrt {1 - sin ^ 2 theta} # الذي يتيح لنا ميكانيكيا القول:

# cos (arcsin (-1/2)) = pm sqrt {1 - (-1/2) ^ 2} = pm sqrt {3} / 2 #

وبالمثل، #5,12,13# هو فيثاغورس الثلاثي العاملين هنا حتى

#sin (arccos (5/3)) = pm sqrt {1 - (5/13) ^ 2} = pm 12/13 #

# x = (pm sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (pm 12/13) #

#x = pm {5 sqrt {3}} / 6 pm 6/13 #