ما هو الجذر التربيعي لـ 89؟

إجابة:

الجذر التربيعي لل #89# هو الرقم الذي عندما يعطي تربيع #89#.

#sqrt (89) ~~ 9.434 #

تفسير:

منذ #89# هو رئيس الوزراء ، #sqrt (89) # لا يمكن تبسيطها.

يمكنك تقريبه باستخدام طريقة نيوتن رافسون.

أود إعادة صياغتها قليلا كما يلي:

سمح # ن = 89 # يكون الرقم الذي تريده الجذر التربيعي لـ.

أختر # p_0 = 19 #, # q_0 = 2 # لهذا السبب # p_0 / q_0 # هو تقريب عقلاني معقول. لقد اخترت هذه القيم الخاصة منذ ذلك الحين #89# حوالي منتصف الطريق بين #9^2 = 81# و #10^2 = 100#.

تكرار باستخدام الصيغ:

#p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + n q_i ^ 2 #

#q_ (i + 1) = 2 p_i q_i #

هذا سيعطي تقريب أفضل عقلاني.

وبالتالي:

# p_1 = p_0 ^ 2 + n q_0 ^ 2 = 19 ^ 2 + 89 * 2 ^ 2 = 361 + 356 = 717 #

# q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 19 * 2 = 76 #

لذلك إذا توقفنا هنا ، فسنحصل على تقدير تقريبي:

#sqrt (89) ~~ 717/76 ~~ 9.434 #

دعنا نذهب خطوة أخرى:

# p_2 = p_1 ^ 2 + n q_1 ^ 2 = 717 ^ 2 + 89 * 76 ^ 2 = 514089 + 514064 = 1028153 #

# q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 717 * 76 = 108984 #

لذلك حصلنا على تقريب:

#sqrt (89) ~~ 1028153/108984 ~~ 9.43398113 #

هذه الطريقة نيوتن رافسون تتلاقى بسرعة.

#اللون الابيض)()#

في الواقع ، تقريب بسيط جيد نوعا ما ل #sqrt (89) # هو #500/53#، منذ #500^2 = 250000# و #89 * 53^2 = 250001#

#sqrt (89) ~~ 500/53 ~~ 9.43396 #

إذا طبقنا خطوة تكرارية واحدة على هذا ، فسنحصل على تقريب أفضل:

#sqrt (89) ~~ 500001/53000 ~~ 9.4339811321 #

#اللون الابيض)()#

حاشية

جميع الجذور المربعة للأعداد الصحيحة الموجبة لها تكرار توسع الكسور المستمر ، والذي يمكنك استخدامه أيض ا لإعطاء تقديرات تقريبية منطقية.

ومع ذلك ، في حالة #sqrt (89) # توسيع الكسر المستمر هو فوضوي قليلا حتى لا لطيفة جدا للعمل مع:

#sqrt (89) = 9 ؛ شريط (2 ، 3 ، 3 ، 2 ، 18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (3 + 1 / (3 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (3 + …))))))) #

التقريب #500/53# أعلاه هو #9; 2, 3, 3, 2#