كيف يمكنك العثور على حجم المنطقة المحاطة بالمنحنيات y = x ^ 2 - 1 و y = 0 مستدير حول الخط x = 5؟

إجابة:

# V = piint_0 ^ 24 (5-الجذر التربيعي (ص + 1)) ^ 2DY = بي (85 + 1/3) #

تفسير:

من أجل حساب هذا الحجم ، سنقوم ، إلى حد ما ، بتقطيعه إلى شرائح (نحيفة بلا حدود).

نحن نتصور المنطقة ، لمساعدتنا في ذلك ، لقد أرفقت الرسم البياني حيث المنطقة هي الجزء أسفل المنحنى. لاحظنا ذلك # ص = س ^ 2-1 # يعبر الخط # س = 5 # أين # ذ = 24 # وأنه يعبر الخط # ص = 0 # أين # س = 1 # رسم بياني {x ^ 2-1 1 ، 5 ، -1 ، 24}

عندما تقطع هذه المنطقة في شرائح أفقية مع الارتفاع # دى # (ارتفاع صغير جدا). يعتمد طول هذه الشرائح كثير ا على إحداثي y. لحساب هذا الطول ، نحتاج إلى معرفة المسافة من نقطة ما # (ص، س) # على الخط # ص = س ^ 2-1 # إلى هذه النقطة (5 ، ذ). بالطبع هذا هو # 5-س #، لكننا نريد أن نعرف كيف يعتمد عليها # ذ #. منذ # ص = س ^ 2-1 #، نعلم # س ^ 2 = ص + 1 #، لأن لدينا # ضعف> 0 # بالنسبة للمنطقة التي نحن مهتمون بها ، # س = الجذر التربيعي (ص + 1) #، وبالتالي هذه المسافة تعتمد على # ذ #، والتي يجب أن نشير إليها # R (ص) # اعطي من قبل # R (ذ) = 5-الجذر التربيعي (ص + 1) #.

الآن نحن تدوير هذه المنطقة حولها # س = 5 #هذا يعني أن كل شريحة تصبح أسطوانة بارتفاع # دى # ونصف قطرها # R (ص) #، وبالتالي وحدة التخزين #pir (ص) ^ 2DY #. كل ما نحتاج إليه الآن هو إضافة هذه الكميات الصغيرة بلا حدود باستخدام التكامل. لاحظنا ذلك # ذ # يذهب من #0# إلى #24#.

# V = int_0 ^ 24pir (y) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (25-10sqrt (y-1) + y + 1) dy = piint_0 ^ 24 (26-10sqrt (ص + 1) + ص) = دى بي 26y-20/3 (ص + 1) ^ (3/2) + ص ^ 2/2 _0 ^ 24 = بي (26 * 24-20 / 3 (25) ^ (3/2) + 20/3 + 24 ^ 2/2) = بي (85 + 1/3) #.