نطاق e ^ x / ([x] +1) ، x> 0 وأين [x] تشير إلى أكبر عدد صحيح؟

إجابة:

#f: (0 ، + oo) -> (1/2 ، + oo) #

تفسير:

انا افترض # س # هو أصغر عدد صحيح أكبر من # # س. في الجواب التالي ، سوف نستخدم الترميز #ceil (خ) #، ودعا وظيفة السقف.

سمح #f (x) = e ^ x / (ceil (x) +1) #. منذ # # س أكبر من #0#، وهذا يعني أن مجال #F# هو # (0، + س س) #.

مثل # ضعف> 0 #, #ceil (x)> 1 # ومنذ ذلك الحين # ه ^ س # هو دائما إيجابي ، #F# هو دائما أكبر من بدقة #0# في مجالها. من المهم أن نلاحظ ذلك #F# هو ليس عن طريق الحقن وأيضا ليست مستمرة في الأعداد الطبيعية. لإثبات هذا ، دعونا # ن # كن رقم ا طبيعي ا:

# R_n = lim_ (x-> n ^ +) f (x) = lim_ (x-> n ^ +) e ^ x / (ceilx + 1) #

لان # ضعف> ن #, #ceil (x) = n + 1 #.

# R_n = e ^ n / (n + 2) #

# L_n = lim_ (x-> n ^ -) f (x) = lim_ (x-> n ^ -) e ^ x / (ceilx + 1) #

وبالمثل، #ceil (x) = n #.

#L_n = e ^ n / (n + 1) #

بما أن الحدود الجانبية اليسرى واليمنى ليست متساوية ، #F# ليست مستمرة في الأعداد الصحيحة. أيضا، #L> R # للجميع # n في NN #.

مثل #F# يتزايد في فواصل زمنية يحدها أعداد صحيحة موجبة ، وتكون "القيم الأصغر" في كل فاصل كما # # س يقترب من الحد الأدنى من اليمين.

وبالتالي ، فإن الحد الأدنى لقيمة #F# سوف يكون

# R_0 = lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) e ^ x / (ceil (x) +1) = e ^ 0 / (0 + 2) = 1 / 2 #

هذا هو الحد الأدنى للنطاق #F#.

في حين أنه ليس صحيحا حقا أن أقول ذلك #F# آخذ في الازدياد ، إنه بالمعنى ، بدون تقارب ، يقترب من اللانهاية - كما ثبت أدناه:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) e ^ x / (ceil (x) +1) #

مثل #ceilx> = x #يوجد #delta <1 # مثل ذلك # ceilx = س + دلتا #:

# = lim_ (x-> oo) e ^ x / (x + delta + 1) #

سمح #u = x + delta + 1 => x = u-delta-1 #.

# = lim_ (u-> oo) e ^ (u-delta-1) / u = lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) #

# ه ^ ش # يزيد بشكل كبير في حين # ش # يفعل ذلك خطيا ، وهذا يعني أن

#lim_ (u-> oo) e ^ u / u = oo #

#:. lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) = oo * 1 / e ^ (delta + 1) = oo #

#:. lim_ (x-> oo) f (x) = oo #

لذلك مجموعة من #F# هو

# "النطاق" = (1/2 ، oo) #

الفاصل الزمني مفتوح على اليسار ل #http: // 2 # مازال # F (0) #، و كما # # س اقتراب #0^+#, # F (خ) # يقترب فقط #http: // 2 #. انها ليست متساوية حقا.