يقوم البطل الخارق بإطلاق نفسه من أعلى مبنى بسرعة 7.3m / s بزاوية 25 فوق المستوى الأفقي. إذا كان المبنى يبلغ ارتفاعه 17 مترا ، فما مدى سفره أفقيا قبل الوصول إلى الأرض؟ ما هي سرعته النهائية؟

الشكل التالي لهذا الشكل:

ما أود القيام به هو سرد ما أعرفه. سنتخذ سلبية كما أسفل و تركت إيجابية.

# س = "17 م" #

#vecv_i = "7.3 م / ث" #

#veca_x = 0 #

#vecg = - "9.8 m / s" ^ 2 #

#Deltavecy =؟

#Deltavecx =؟

#vecv_f =؟ #

الجزء الأول: الصعود

ما أود القيام به هو العثور على مكان ذروة هو تحديد # # Deltavecy، ثم العمل في سيناريو السقوط الحر. لاحظ أنه في القمة ، #vecv_f = 0 # لأن الشخص يغير الاتجاه بحكم غلبة الجاذبية في تقليل المكون الرأسي للسرعة خلال الصفر وإلى السلبيات.

معادلة واحدة تنطوي # # vecv_i, # # vecv_fو # # vecg هو:

# mathbf (vecv_ (fy) ^ 2 = vecv_ (iy) ^ 2 + 2vecgDeltavecy) #

اين نقول #vecv_ (fy) = 0 # في القمة.

منذ #vecv_ (fy) ^ 2 <vecv_ (iy) ^ 2 # و #Deltavecy> 0 #, # Deltavecv_y ^ 2 <0 # وهذه المعادلة تطلب منا أن نستخدمها بالفعل #g <0 #.

للجزء 1:

#color (blue) (Deltavecy) = (vecv_ (fy) ^ 2 - v_ (iy) ^ 2) / (2g) = color (blue) ((- v_ (iy) ^ 2) / (2g))> 0 #

أين #vecv_ (fy) = 0 # هي السرعة النهائية للجزء 1.

أذكر أن السرعة العمودية لديها # # sintheta مكون (ارسم مثلث ا صحيح ا واحصل على #sintheta = (vecv_ (y)) / (vecv) # صلة).

#color (أخضر) (Deltavecy = (-v_ (i) ^ 2 sin ^ 2theta) / (2g))> 0 #

الآن بعد أن لدينا # # Deltavecy ونحن نعرف ذلك # # vecv_y قد تغير الاتجاه ، يمكننا أن نفترض السقوط الحر يحدث.

ال الإرتفاع الإجمالي من السقوط هو #color (أخضر) (h + Deltavecy) #. هذا شيء يمكننا استخدامه لجزء منه 2.

انا حصلت # # Deltavecy أن يكون حوالي # "0.485 م" # و #h + Deltavecy # أن يكون حوالي # اللون (الأزرق) ("17.485 م") #.

الجزء الثاني: السقوط الحر

يمكننا علاج مرة أخرى # ذ # الاتجاه بشكل مستقل عن # # س الاتجاه ، منذ ذلك الحين #veca_x = 0 #.

في القمة ، تذكر ذلك #color (أخضر) (vecv_ (iy) = 0) #، وهي السرعة الأولية للجزء 2، وكانت السرعة النهائية في جزء منها 1. الآن يمكننا استخدام معادلة حركية أخرى ثنائية الأبعاد. تذكر أن الطول الكلي ليس كذلك # # Deltavecy هنا!

# mathbf (h + Deltavecy = 1 / 2g t_ "freefall" ^ 2) + إلغاء (v_ (iy) t_ "freefall") ^ (0) #

الآن يمكننا حل فقط للوقت الذي يستغرقه للوصول إلى الأرض من القمة.

#color (أخضر) (t_ "freefall") = sqrt ((2 (h + Deltavecy)) / g) #

# = اللون (الأخضر) (sqrt ((2 (h - (v_ (i) ^ 2 sin ^ 2theta) / (2g))) / g)) #

وبالطبع ، من الواضح أن الوقت ليس سلبي ا على الإطلاق ، لذلك يمكننا تجاهل الإجابة السلبية.

… ونحن نصل إلى هناك.

الجزء الثالث: حل المسافة الأفقية

يمكننا إعادة استخدام نفس المعادلة الحركية كما تم فحصها سابق ا. واحدة من الأشياء التي كنا نذهب ل هو # # Deltax، الذي:

#color (أزرق) (Deltax) = إلغاء (1 / 2a_xt ^ 2) ^ (0) + v_ (ix) t #

وكما كان من قبل ، استخدم علاقة حساب المثلثات للحصول على # # س مكون (# # costheta).

# = اللون (الأزرق) (vecv_icostheta * t_ "overall")> 0 #

أين #t_ "الشامل" # ليس ما حصلنا عليه جزئيا 2، ولكن سوف تشمل الوقت #t_ "قفزة" # الذهاب من المبنى إلى قمة الرحلة و #t_ "السقوط الحر" # التي حصلنا عليها في وقت سابق.

#Deltay = 1 / 2vecg t_ "قفزة" ^ 2 + vecv_ (iy) t_ "قفزة" #

مع #Deltay ~~ "0.485 m" #. عندما نحل هذه المشكلة باستخدام المعادلة التربيعية ، فسوف تسفر عن:

#t_ "leap" = (- (vecv_ (iy)) + sqrt ((vecv_ (iy)) ^ 2 - 4 (1 / 2vecg) (- | Deltay |))) / / (2 * 1 / 2vecg) #

# ~~ "0.3145 s" #

قم بتضمين الوقت الذي تم الحصول عليه من أجل الوصول إلى الأرض ويجب أن تحصل عليه #color (أزرق) ("2.20 s") # للرحلة بأكملها. دعنا نسمي هذا #t_ "الشامل" #.

#t_ "الكلي" = t_ "قفزة" + t_ "السقوط الحر" #

عن طريق #t_ "الشامل" #، انا حصلت #color (أزرق) (Deltavecx ~~ "14.58 m") #.

الجزء الرابع: حل للنهاية النهائية

الآن سوف يتطلب الأمر مزيد ا من التفكير. نحن نعرف ذلك # س = "17 م" # ونحن لدينا # # Deltax. لذلك ، يمكننا تحديد الزاوية فيما يتعلق بالأرض الأفقية.

#tantheta '= (h + Deltavecy) / (Deltavecx) #

#color (أزرق) (theta '= arctan ((h + Deltavecy) / (Deltavecx))))

لاحظ كيف استخدمنا #h + Deltavecy # لأننا في الواقع قفزنا للأعلى قبل السقوط ، ولم نقفز بشكل مستقيم للأمام. لذا ، الزاوية # # ثيتا يتضمن # # Deltax و ال الإرتفاع الإجمالي، ونحن سوف نأخذ الحجم من الطول الكلي لهذا الغرض.

وأخيرا ، منذ ذلك الحين # # vecv_x لم يتغير كل هذا الوقت (نحن نتجاهل مقاومة الهواء هنا):

#color (أخضر) (vecv_ (fx)) = vecv_ (ix) = vecv_fcostheta '= color (أخضر) (vecv_icostheta')> 0 #

أين # # vecv_i هي السرعة الأولية من جزء 1. الآن نحن بحاجة فقط لمعرفة ما #vecv_ (السنة) # هو في جزء منه 2. العودة إلى البداية لرؤية:

#vecv_ (fy) ^ 2 = إلغاء (vecv_ (iy) ^ 2) ^ (0) + 2vecg * (h + Deltavecy) #

وبالتالي ، يصبح هذا:

#color (أخضر) (vecv_ (fy) = -sqrt (2vecg * (h + Deltavecy))) <0 #

تذكر أننا عرفنا بانخفاض سلبي، وبالتالي # h + Deltay <0 #.

حسنا ، نحن تقريبا هناك. طلبنا ل # # vecv_f. لذلك ، ننتهي باستخدام نظرية فيثاغورس.

# vecv_f ^ 2 = vecv_ (fx) ^ 2 + vecv_ (fy) ^ 2 #

#color (blue) (vecv_f = -sqrt (vecv_ (fx) ^ 2 + vecv_ (fy) ^ 2)) <0 #

بصورة شاملة، #color (أزرق) (| vecv_f | ~~ "19.66 م / ث") #.

وسيكون ذلك كله! تحقق من إجابتك وأخبرني ما إذا كانت قد نجحت.

هنا فيل. من الإسقاط ، # ت = 7.3ms ^ -1 #

الزاوية. من الإسقاط ،# ألفا = 25 ^ 0 # فوق الأفقي

المكون الرأسي للأعلى من الإسقاط ،# vsinalpha = 7.3 * sin25 ^ 0 = 7.3 * 0.42ms ^ -1 ~~ 3.07ms ^ -1 #

يبلغ ارتفاع المبنى 17 متر ا ، وسيكون الإزاحة الرأسية الصافية التي تصل إلى الأرض # ح = -17m # كما توقع البطل نفسه صعودا (اتخذت إيجابية هنا)

إذا كان وقت الرحلة ، أي وقت الوصول إلى الأرض ، هو T

ثم باستخدام الصيغة #h = vsinalpha * t-1/2 * g * t ^ 2 # فإننا يمكن أن يكون

# => - 17 = 3.07 * T-0.5 * 9.8 * T ^ 2 #

# => 4.9T ^ 2-3.07T-17 = 0 #

تقسيم الجانبين على 4.9 نحصل عليها

# => T ^ 2-0.63T-3.47 = 0 #

# => T = (0.63 + الجذر التربيعي ((- 0.63) ^ 4/2 * 1 * (- 3.47))) / 2 ~~ 2.20s #

(الوقت السلبي المهملة)

لذلك سوف يكون النزوح الأفقي للبطل قبل الوصول إلى الأرض

# = T * vcosalpha = 2.20 ** 7.3cos (25 ^ 0) ~~ 14.56m #

حساب السرعة في وقت الوصول إلى الأرض

سرعة المكون الرأسي في وقت الوصول إلى الأرض

# v_y ^ 2 = u ^ 2sin ^ 2alpha + 2xx (-9.8) xx (-17) #

مرة أخرى المكون الأفقي للسرعة في وقت الوصول إلى الأرض

# => v_x = ucosalpha #

السرعة الناتجة في وقت الوصول إلى الأرض

# v_r = الجذر التربيعي (v_x ^ 2 + v_y ^ 2) = الجذر التربيعي (ش ^ ^ 2sin 2alpha + ش ^ ^ 2cos 2alpha-2xx9.8xx17) #

# => v_r = الجذر التربيعي (ش ^ 2 + 2xx9.8xx17) #

# => v_r = الجذر التربيعي (7.3 ^ 2 + 2xx9.8xx17) = 19.66 "م / ث" #

أتجاه # # v_r مع الأفقي# = تان ^ -1 (v_y / v_x) #

# = تان ^ -1 (الجذر التربيعي (ش ^ ^ 2sin 2alpha + 2xx (تم -9.8) س س (-17)) / (ucosalpha)) #

# = tan ^ -1 (sqrt (7.3 ^ 2sin ^ 2 25 + 2xx (-9.8) xx (-17)) / (7.3cos25)) #

# = 70.3 ^ @ -> "لأسفل مع الأفقي" #

هل هو مفيد؟