أثبت أن (1 + Log_5 8 + Log_5 2) / log_5 6400 = 0.5 يرجى ملاحظة أن الرقم الأساسي لكل سجل هو 5 وليس 10. أحصل باستمرار على 1/80 ، هل يمكن لشخص ما المساعدة؟

إجابة:

#1/2#

تفسير:

#6400 = 25*256 = 5^2*2^8#

# => log (6400) = log (5 ^ 2) + log (2 ^ 8) = 2 + 8 log (2) #

#log (8) = log (2 ^ 3) = 3 log (2) #

# => (1 + log (8) + log (2)) / log (6400) = (1 + 4 log (2)) / (2 + 8log (2)) = 1/2 #

إجابة:

تطبيق الهويات اللوغاريتمية الشائعة.

تفسير:

لنبدأ بإعادة كتابة المعادلة بحيث يكون من الأسهل قراءة:

اثبت ذلك:

# (1 + log_5 8 + log_5 2) / (log_5 6400) = 0.5 #

أولا ، نحن نعرف ذلك #log_x a + log_x b = log_x ab #. نستخدم ذلك لتبسيط المعادلة لدينا:

# (1 + log_5 8 + log_5 2) / (log_5 6400) = (1 + log_5 (8 * 2)) / (log_5 6400) = (1 + log_5 16) / (log_5 6400) #

هذا "#1+#"هو في الطريق ، لذلك دعونا نتخلص منه. نحن نعرف ذلك #log_x x = 1 #، لذلك نحن بديلا:

# (1 + log_5 16) / (log_5 6400) = (log_5 5 + log_5 16) / (log_5 6400) #

باستخدام قاعدة الإضافة نفسها من قبل ، نحصل على:

# (log_5 5 + log_5 16) / (log_5 6400) = (log_5 5 * 16) / (log_5 6400) = (log_5 80) / (log_5 6400) #

وأخيرا ، نحن نعرف ذلك #log_x a = log_b a / log_b x #. وهذا ما يسمى عادة "تغيير الصيغة الأساسية" - وسيلة سهلة لتذكر أين # # س و #ا# الذهاب هو ذلك # # س أقل من #ا# في المعادلة الأصلية (لأنه مكتوب أصغر تحت #سجل#).

نستخدم هذه القاعدة لتبسيط المعادلة لدينا:

# (log_5 80) / (log_5 6400) = log_6400 80 #

يمكننا إعادة كتابة اللوغاريتم في الأس لجعله أسهل:

# log_6400 80 = x #

# 6400 ^ س = 80 #

والآن نرى ذلك #x = 0.5 #، منذ #sqrt (6400) = 6400 ^ 0.5 = 80 #.

#ميدان#

ربما ارتكبت خطأ ذلك # (log_5 80) / (log_5 6400) = 80/6400 = 1/80 #. كن حذرا ، هذا ليس صحيحا.