ما هي القيمة القصوى المطلقة لـ f (x) = 2xsin ^ 2x + xcos2x في [0، pi / 4]؟

إجابة:

الحد الأقصى المطلق: # (pi / 4 ، pi / 4) #

دقيقة مطلقة: #(0, 0)#

تفسير:

معطى: #f (x) = 2x sin ^ 2x + x cos2x في 0، pi / 4 #

ابحث عن المشتق الأول باستخدام قاعدة المنتج مرتين.

سيادة المنتج: # (uv) '= uv' + v u '#

سمح #u = 2x ؛ "" أنت "2 #

سمح #v = sin ^ 2x = (sin x) ^ 2؛ "" v '= 2 sin x cos x #

#f '(x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + … #

للنصف الثاني من المعادلة:

سمح #u = x ؛ "" أنت "1 #

سمح #v = cos (2x) ؛ "" v '= (- sin (2x)) 2 = -2sin (2x) #

#f '(x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + x (-2sin (2x)) + cos (2x) (1) #

تبسيط:

#f '(x) = إلغاء (2x sin (2x)) + 2 دقيقة ^ 2x إلغاء (-2x sin (2x)) + cos (2x) #

#f '(x) = 2 sin ^ 2x + cos (2x) #

#f '(x) = 2 sin ^ 2x + cos ^ 2x - sin ^ 2x #

#f '(x) = sin ^ 2x + cos ^ 2x #

هوية فيثاغورس # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #

هذا يعني عدم وجود قيم حرجة عندما #f '(x) = 0 #

يمكن العثور على الحد الأقصى المطلق والحد الأدنى في نقاط النهاية للفاصل الزمني للوظيفة.

اختبار نقاط النهاية للوظيفة:

#f (0) = 0 ؛ "الحد الأدنى المطلق:" (0 ، 0) #

#f (pi / 4) = 2 * pi / 4 sin ^ 2 (pi / 4) + pi / 4 * cos (2 * pi / 4) #

#f (pi / 4) = pi / 2 (1 / sqrt (2)) ^ 2 + pi / 4 * cos (pi / 2) #

#f (pi / 4) = pi / 2 * 1/2 + pi / 4 * 0 #

#f (pi / 4) = pi / 4 ؛ "الحد الأقصى المطلق:" (pi / 4 ، pi / 4) #