ما هي النقاط القصوى والسرج لـ f (x، y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + y؟

لم أجد نقاط سرج ، لكن كان هناك حد أدنى:

#f (1/3 ، -2 / 3) = -1 / 3 #

للعثور على الباقي ، خذ المشتق الجزئي فيما يتعلق # # س و # ذ # لمعرفة ما إذا كان كلا المشتقات الجزئية يمكن أن تساوي في وقت واحد #0#.

# ((delf) / (delx)) _ y = 2x + y #

# ((delf) / (dely)) _ x = x + 2y + 1 #

إذا كان يجب في وقت واحد على قدم المساواة #0#، فإنها تشكل نظام المعادلات:

# 2 (2x + y + 0 = 0) #

#x + 2y + 1 = 0 #

هذه خطي نظام المعادلات ، عندما تطرح لإلغاء # ذ #، يعطي:

# 3x - 1 = 0 => اللون (الأخضر) (س = 1/3) #

# => 2 (1/3) + ص = 0 #

# => اللون (الأخضر) (ص = -2/3) #

نظر ا لأن المعادلات خطية ، لم يكن هناك سوى نقطة واحدة حرجة ، وبالتالي طرف واحد فقط. سوف يخبرنا المشتق الثاني ما إذا كان الحد الأقصى أو الأدنى.

# ((del ^ 2f) / (delx ^ 2)) _ y = ((del ^ 2f) / (dely ^ 2)) _ x = 2 #

هذه الجزئين الثانيين متفقان ، لذلك الرسم البياني مقعر ، على طول # # س و # ذ # محاور.

قيمة ال # F (X، Y) # عند النقطة الحرجة (عن طريق توصيل المعادلة الأصلية):

#color (أخضر) (f (1/3 ، -2 / 3)) = (1/3) ^ 2 + (1/3) (- 2/3) + (-2/3) ^ 2 + (- 2/3) #

# = 1/9 - 2/9 + 4/9 - 6/9 = اللون (الأخضر) (- 1/3) #

وبالتالي ، لدينا الحد الأدنى من # اللون (الأزرق) (f (1/3 ، -2 / 3) = -1/3) #.

الآن ، ل عبر المشتقات للتحقق من أي نقاط سرج يمكن أن تكون على طول اتجاه مائل:

# ((del ^ 2f) / (delxdely)) _ (y، x) = ((del ^ 2f) / (delydelx)) _ (x، y) = 1 #

نظر ا لأن كليهما متفقان أيض ا ، بدلا من كونهما علامة عكسية ، هناك لا نقطة السرج.

يمكننا أن نرى كيف يبدو هذا الرسم البياني فقط للتحقق: