الحد الأدنى لقيمة f (x، y) = x ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4y-2 هو؟

# F (س، ص) = س ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4Y-2 #

# => و (س، ص) = س ^ 2-2 * س * (3Y) + (3Y) ^ 2 + (2Y) ^ 2/2 * (2Y) * 1 + 1 ^ 2-3 #

# => و (س، ص) = (س-3Y) ^ 2 + (2Y-1) ^ 2-3 #

يجب أن تكون القيمة الدنيا لكل تعبير تربيعي صفرا.

وبالتالي # و (س، ص) _ "دقيقة" = - 3 #

إجابة:

يوجد حد أدنى نسبي في #(3/2,1/2)# و # F (3 / 2،1 / 2) = - 3 #

تفسير:

أعتقد أنه يجب علينا حساب المشتقات الجزئية.

هنا،

# F (س، ص) = س ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4Y-2 #

المشتقات الجزئية الأولى هي

# (DELF) / (delx) = 2X-6Y #

# (DELF) / (دالي) = 26y-6X 4 #

النقاط الحرجة هي

# {(2X-6Y = 0)، (26y-6X 4 = 0):} #

#<=>#, # {(الخريطة 3y = خ)، (26y-6 * 3Y-4 = 0):} #

#<=>#, # {(الخريطة 3y = خ)، (8Y = 4):} #

#<=>#, # {(س = 3/2)، (ص = 1/2):} #

المشتقات الجزئية الثانية هي

# (ديل ^ 2F) / (delx ^ 2) = 2 #

# (ديل ^ 2F) / (دالي ^ 2) = 26 #

# (ديل ^ 2F) / (delxdely) = - 6 #

# (ديل ^ 2F) / (delydelx) = - 6 #

محدد المصفوفة هسه هو

#D (س، ص) = | ((دل ^ 2F) / (delx ^ 2)، (ديل ^ 2F) / (delxdely))، ((دل ^ 2F) / (دالي ^ 2)، (ديل ^ 2F) / (delydelx)) | #

#=|(2,-6),(-6,26)|#

#=52-36#

#=16>0#

مثل #D (س، ص)> 0 #

و

# (ديل ^ 2F) / (delx ^ 2) = 2> 0 #

يوجد حد أدنى نسبي في #(3/2,1/2)#

و

# F (3 / 2،1 / 2) = 1.5 ^ 2 + 13 * 0.5 * 1.5 ^ 2-6 * 0،5-4 * 0.5-2 = -3 #