كيف يمكنك العثور على مجموع السلسلة الهندسية اللانهائية 10 (2/3) ^ n عند n = 2؟

إجابة:

الجواب هو إما #40/9# أو #40/3# اعتمادا على ما كان المقصود من السؤال.

تفسير:

حسنا إذا # ن = 2 # ثم ليس هناك مبلغ ، الجواب هو فقط:

#10(2/3)^2 = 10(4/9) = 40/9#

ولكن ربما كان المقصود من السؤال أن نطلب أخذ المبلغ غير المحدود ابتداء من # ن = 2 # بحيث المعادلة هي:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n #

في هذه الحالة ، سنحسبها عن طريق الإشارة أولا إلى أن أي سلسلة هندسية يمكن رؤيتها على أنها من الشكل:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n #

في هذه الحالة ، سلسلة لدينا لديها # أ = 10 # و #r = 2/3 #.

سنلاحظ أيضا أن:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n = asum_ (n = 0) ^ infty r ^ n #

لذلك يمكننا ببساطة حساب مجموع سلسلة هندسية # (2/3) ^ ن # ثم اضرب هذا المبلغ ب #10# للوصول إلى نتيجة لدينا. هذا يجعل الأمور أسهل.

لدينا أيضا المعادلة:

#sum_ (n = 0) ^ infty r ^ n = 1 / (1-r) #

يسمح لنا هذا بحساب مجموع السلسلة بدء ا من # ن = 0 #. لكننا نريد حسابها من # ن = 2 #. من أجل القيام بذلك ، سنقوم ببساطة بطرح # ن = 0 # و # ن = 1 # شروط من المبلغ الكامل. عند كتابة المصطلحات العديدة الأولى للمجموع ، يمكننا أن نرى أنه يبدو:

#1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …#

يمكننا أن نرى أن:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n = 10sum_ (n = 2) ^ infty (2/3) ^ n = 10 sum_ (n = 0) ^ infty (2/3) ^ n - (1 + 2/3) #

#=101/(1-(2/3)) - (1 + 2/3)#

#= 103 - 5/3 = 109/3 - 5/3 = 40/3#