كيف يمكنك العثور على صيغة ماكلورين لـ f (x) = sinhx واستخدامها لتقريب f (1/2) خلال 0.01؟

إجابة:

#sinh (1/2) ~~ 0.52 #

تفسير:

نحن نعرف تعريف ل #sinh (خ) #:

#sinh (س) = (ه ^ س-ه ^ -x) / 2 #

لأننا نعرف سلسلة ماكلورين # ه ^ س #، يمكننا استخدامه لبناء واحدة ل #sinh (خ) #.

# ه ^ س = sum_ (ن = 0) ^ ^ oox ن / ن (!) = 1 + س + س ^ 2/2 + س ^ 3 / (3!) … #

يمكننا العثور على سلسلة ل # ه ^ -x # بتعويض # # س مع # # -x:

# ه ^ -x = sum_ (ن = 0) ^ س س (-x) ^ ن / ن (!) = sum_ (ن = 0) ^ س س (-1) ^ ن / ن (!) س ^ ن = 1 -x + س ^ 2/2-س ^ 3 / (3!) … #

يمكننا طرح هذين من بعضنا البعض للعثور على البسط # # سينه فريف:

#COLOR (أبيض) (- ه ^ -x) ه ^ س = اللون (الأبيض) (….) 1 + س + س ^ 2/2 + س ^ 3 / (! 3) + س ^ 4 / (4!) + س ^ 5 / (5)! … #

#COLOR (أبيض) (ه ^ س) -e ^ -x = -1 + س س ^ 2/2 + س ^ 3 / (3!) - س ^ 4 / (4!) + س ^ 5 / (5!) … #

# ه ^ ^ XE -x = اللون (الأبيض) (lllllllll) 2xcolor (أبيض) (lllllllll) + (2X ^ 3) / (3!) اللون (الأبيض) (lllllll) + (2X ^ 5) / (5!) … #

يمكننا أن نرى أن كل الشروط الزوجية تلغي وكل الشروط الفردية مزدوجة. يمكننا تمثيل هذا النمط مثل:

# e ^ x-e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo 2 / ((2n + 1)!) x ^ (2n + 1) #

لاستكمال #sinh (خ) # سلسلة ، نحن فقط بحاجة إلى تقسيم هذا بواسطة #2#:

# (e ^ x-e ^ -x) / 2 = sinh (x) = sum_ (n = 0) ^ oo delete2 / (delete2 (2n + 1)!) x ^ (2n + 1) = #

# = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = x + x ^ 3 / (3!) + x ^ 5 / (5!) … #

الآن نريد حساب # f (1 / 2) # بدقة لا تقل عن #0.01#. نحن نعرف هذا الشكل العام لخطأ لاغرانج المرتبط بتعدد الحدود من تايلور # س = ج #:

# | R_n (خ) | <= | M / (! (ن + 1)) (س-ج) ^ (ن + 1) | # أين # M # هو الحد الأعلى على المشتق التاسع على الفاصل الزمني من # ج # إلى # # س.

في حالتنا ، التوسع هو سلسلة ماكلورين ، لذلك # ج = 0 # و # س = 1 / 2 #:

# | R_n (خ) | <= | M / ((ن + 1)!) (1/2) ^ (ن + 1) | #

مشتقات الدرجة الأعلى من #sinh (خ) # سوف يكون إما #sinh (خ) # أو #cosh (خ) #. إذا أخذنا بعين الاعتبار التعاريف الخاصة بهم ، فإننا نرى ذلك #cosh (خ) # سيكون دائما أكبر من #sinh (خ) #، لذلك يجب علينا العمل بها # M #-ملزمة ل #cosh (خ) #

إن وظيفة جيب التمام الزائدي تزداد دائم ا ، لذلك ستكون أكبر قيمة في الفاصل الزمني #1 / 2#:

#sinh (1/2) = (ه ^ (1/2) + ه ^ (- 1/2)) / 2 = (sqrte + 1 / sqrte) / 2 = sqrte / 2 + 1 / (2sqrte) = M #

نحن الآن نربط هذا في خطأ لاغرانج منضم:

# | R_n (خ) | <= (sqrte / 2 + 1 / (2sqrte)) / (! (ن + 1)) (1/2) ^ (ن + 1) #

نحن نريد # | R_n (خ) | # أن تكون أصغر من #0.01#، لذلك نحن نحاول بعض # ن # القيم حتى نصل إلى هذه النقطة (كمية أقل من الحدود في كثير الحدود ، كلما كان ذلك أفضل). نجد ذلك # ن = 3 # هي القيمة الأولى التي من شأنها أن تعطينا خطأ ملزمة أصغر من #0.01#، لذلك نحن بحاجة إلى استخدام الدرجة 3 تايلور متعدد الحدود.

#sinh (1/2) ~~ sum_ (ن = 0) ^ 3 (1/2) ^ (2N + 1) / ((2N + 1)!) = 336169/645120 ~~ 0.52 #