يتم تعريف الكسر المستمر الوظيفي (FCF) للفئة الأسية بواسطة a_ (cf) (x؛ b) = a ^ (x + b / (a ^ (x + b / a ^ (x + ...)))) ، a> 0. عند تعيين = e = 2.718281828 .. ، كيف تثبت أن e_ (cf) (0.1؛ 1) = 1.880789470 ، تقريب ا؟

إجابة:

انظر الشرح …

تفسير:

سمح #t = a_ (cf) (x؛ b) #

ثم:

#t = a_ (cf) (x؛ b) = a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + …)))) = a ^ (x + b / (a_ (cf) (x؛ b))) = a ^ (x + b / t) #

بعبارات أخرى، # ر # هي نقطة ثابتة من التعيين:

#F_ (a، b، x) (t) = a ^ (x + b / t) #

لاحظ أنه في حد ذاته ، # ر # كونها نقطة ثابتة ل # F (ر) # لا يكفي لإثبات ذلك #t = a_ (cf) (x؛ b) #. قد تكون هناك نقاط ثابتة غير مستقرة ومستقرة.

فمثلا، #2016^(1/2016)# هي نقطة ثابتة لل #x -> x ^ x #، ولكن ليس حلا # x ^ (x ^ (x ^ (x ^ …))) = 2016 # (لا يوجد حل).

ومع ذلك ، دعونا نفكر #a = e #, #x = 0.1 #, # ب = 1.0 # و #t = 1.880789470 #

ثم:

#F_ (a، b، x) (t) = e ^ (0.1 + 1 / 1.880789470) #

# ~~ ه ^ (0.1 + 0.5316916199) #

# = ه ^ 0.6316916199 #

# ~~ 1.880789471 ~~ t #

لذلك هذه القيمة # ر # قريب جد ا من نقطة ثابتة في #F_ (أ، ب، خ) #

لإثبات أنها مستقرة ، فكر في المشتق القريب # ر #.

# d / (ds) F_ (e ، 1،0.1) (s) = d / (ds) e ^ (0.1 + 1 / s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0.1 + 1 / s) #

لذلك نجد:

#F '_ (e ، 1،0.1) (t) = -1 / t ^ 2 e ^ (0.1 + 1 / t) = -1 / t ^ 2 * t = -1 / t ~~ -0.5316916199 #

لأن هذا هو سلبي وقيمة مطلقة أقل من #1#، النقطة الثابتة في # ر # غير مستقر.

لاحظ أيض ا أنه لأي قيمة غير صفرية بقيمة # ق # نحن لدينا:

#F '_ (e ، 1،0.1) (s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0.1 + 1 / s) <0 #

هذا هو #F_ (ه، 1،0.1) (ق) # يتناقص بدقة رتابة.

بالتالي # ر # هي نقطة ثابتة ثابتة فريدة من نوعها.

إجابة:

سلوك انكماشي.

تفسير:

مع #a = e # و #x = x_0 # التكرار يلي

#y_ {k + 1} = e ^ {x_0 + b / y_k} # و أيضا

#y_k = e ^ {x_0 + b / y_ {k-1}} #

دعنا نتحقق من شروط حدوث انكماش في مشغل التكرار.

تلخيص كلا الجانبين

#y_ {k + 1} -y_k = e ^ {x_0} (e ^ {b / y_k} -e ^ {b / y_ {k-1}}) #

ولكن في التقريب الأول

# e ^ {b / y_k} = e ^ {b / y_ {k-1}} + d / (dy_ {k-1}) (e ^ (b / y_ {k-1})) (y_k-y_ {k-1}) + O ((y_ {k-1}) ^ 2) #

أو

# e ^ {b / y_k} - e ^ {b / y_ {k-1}} approx -b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2 (y_k-y_ {ك 1}) #

لدينا انكماش نحتاج

#abs (y_ {k + 1} -y_k) <abs (y_k-y_ {k-1}) #

يتحقق هذا إذا

#abs (e ^ {x_0} b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2) <1 #. نفترض # ب> 0 # و # ك = 1 # نحن لدينا.

# x_0 + b / y_0 <2 log_e (y_0 / b) #

معطى # # x_0 و #ب# هذه العلاقة تسمح لنا بإيجاد التكرار الأولي تحت السلوك التقلصي.