ما يمثل سرعة لحظية على الرسم البياني؟

شريطة أن يكون الرسم البياني هو المسافة كدالة للوقت ، فإن ميل الخط المماثل للوظيفة في نقطة معينة يمثل السرعة الآنية في تلك المرحلة.

من أجل الحصول على فكرة عن هذا المنحدر ، يجب استخدام واحد حدود. على سبيل المثال ، افترض أنه تم إعطاء وظيفة مسافة #x = f (t) #، ويود المرء أن يجد السرعة الآنية ، أو معدل تغير المسافة ، عند هذه النقطة # p_0 = (t_0 ، f (t_0)) #، يساعد على فحص نقطة أخرى قريبة أولا ، # p_1 = (t_0 + a ، f (t_0 + a)) #، أين #ا# هو بعض ثابت صغير تعسفي. المنحدر من خط قاطع يمر الرسم البياني في هذه النقاط:

# و (t_0 + أ) -f (t_0) / أ #

مثل # # p_1 اقتراب # # p_0 (والتي سوف تحدث لدينا #ا# يقلل) ، لدينا أعلاه #حاصل الفرق# سوف تقترب من الحد ، هنا المعينة # # L، وهو ميل خط الظل في نقطة معينة. عند هذه النقطة ، يمكن أن توفر معادلة ميل النقطة باستخدام نقاطنا المذكورة أعلاه معادلة أكثر دقة.

إذا بدلا من ذلك هو واحد على دراية التفاضل، والوظيفة على حد سواء مستمرة وقابلة للتمييز في قيمة معينة من # ر #، ثم يمكننا ببساطة التمييز بين الوظيفة. بالنظر إلى أن معظم وظائف المسافة هي وظائف متعددة الحدود، النموذج #x = f (t) = في ^ n + bt ^ (n-1) + ct ^ (n-2) + … + yt + z ، # هذه يمكن تمييزها باستخدام حكم السلطة التي تنص على أن لوظيفة #f (t) = في ^ n ، (df) / dt # (أو # F '(ر) #) = # (ن) في ^ (ن 1) #.

وبالتالي لدينا وظيفة متعدد الحدود العامة أعلاه ، #x '= f' (t) = (n) في ^ (n-1) + (n-1) bt ^ (n-2) + (n-2) ct ^ (n-3) + … + ص # (لاحظ أنه منذ ذلك الحين #t = t ^ 1 # (حيث إن أي عدد مرفوع إلى القوة الأولى يساوي نفسه) ، فإن تقليل القدرة بمقدار 1 يترك لنا # t ^ 0 = 1 #، ولهذا السبب فإن المدة النهائية هي ببساطة # ذ #. لاحظ أيضا أن لدينا # ض # مصطلح ، كونه ثابت ، لم يتغير فيما يتعلق # ر # وبالتالي تم تجاهله في التمايز).

هذه # F '(ر) # هو مشتق من وظيفة المسافة فيما يتعلق الوقت ؛ وبالتالي ، فإنه يقيس معدل تغيير المسافة فيما يتعلق بالوقت ، والذي هو ببساطة السرعة.