ما هو الحد مع اقتراب x اللانهاية لـ (ln (x)) ^ (1 / x)؟

انها بسيطة جدا. يجب عليك استخدام حقيقة ذلك

#ln (x) = e ^ (ln (ln (x))) #

ثم ، أنت تعرف ذلك

#ln (x) ^ (1 / x) = e ^ (ln (ln (x)) / x) #

وبعد ذلك ، يحدث الجزء المثير للاهتمام والذي يمكن حله بطريقتين - استخدام الحدس واستخدام الرياضيات.

دعونا نبدأ مع جزء الحدس.

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = lim_ (n-> infty) e ^ (("شيء أصغر من x") / x) = e ^ 0 = 1 #

دعونا نفكر لماذا هذا؟

بفضل استمرارية # ه ^ س # وظيفة يمكننا نقل الحد:

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) #

لتقييم هذا الحد #lim_ (ن-> infty) (قانون الجنسية (قانون الجنسية (خ)) / س) #، قد نستخدم قاعدة المستشفى التي تنص على:

#lim_ (n-> infty) (f (x) / g (x)) = lim_ (n-> infty) ((f '(x)) / (g' (x))) #

لذلك ، عندما نحسب المشتقات ، نحصل على:

#lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x) = lim_ (n-> infty) (1 / (xln (x))) #

كما المشتقات # 1 / (XLN (خ)) # للمرشح و #1# لقاسم.

هذا الحد سهل الحساب كما هو # 1 / infty # نوع من الحد الذي هو صفر.

لذلك ، أنت ترى ذلك

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) = e ^ 0 = 1 #

وهذا يعني ذلك #lim_ (n-> infty) ln (x) ^ 1 / x = 1 # كذلك.