كيفية التوسع في سلسلة ماكلورين هذا؟ و (س) = int_0 ^ xlog (1-ر) / TDT

إجابة:

#f (x) = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n +1) ^ 2 #

بصري: تحقق من هذا الرسم البياني

تفسير:

من الواضح أننا لا نستطيع تقييم هذا التكامل لأنه يستخدم أي ا من أساليب التكامل العادية التي تعلمناها. ومع ذلك ، نظر ا لأنه جزء لا يتجزأ ، يمكننا استخدام سلسلة MacLaurin والقيام بما يسمى مصطلح تكامل مصطلح.

سنحتاج إلى العثور على سلسلة MacLaurin. نظر ا لأننا لا نريد العثور على المشتق التاسع لتلك الوظيفة ، فسوف نحتاج إلى محاولة وضعها في واحدة من سلسلة MacLaurin التي نعرفها بالفعل.

أولا ، نحن لا نحب #سجل#. نريد أن نجعل ذلك # # قانون الجنسية. للقيام بذلك ، يمكننا ببساطة استخدام تغيير الصيغة الأساسية:

#log (x) = ln (x) / ln (10) #

اذا لدينا:

# int_0 ^ XLN (1-ر) / (تريليون (10)) دينارا #

لما نفعل هذا؟ حسنا ، لاحظ الآن ذلك # d / dxln (1-t) = -1 / (1-t) # لماذا هذا خاص جدا؟ حسنا، # 1 / (1-س) # هي واحدة من سلسلة MacLaurin الشائعة الاستخدام:

# 1 / (1-x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + … = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n #

… للجميع # # س على #(-1, 1#

لذلك ، يمكننا استخدام هذه العلاقة لصالحنا ، واستبدالها #ln (1-ر) # مع # الباحث-1 / (1-ر) دينارا #والذي يسمح لنا باستبدال ذلك # # قانون الجنسية مصطلح مع سلسلة ماكلورين. وضع هذا مع ا يعطي:

#ln (1-t) / (tln (10)) = -1 / (tln (10)) int 1 + t + t ^ 2 + t ^ 3 + … + t ^ n dt #

تقييم التكامل:

# = -1 / (tln (10)) t + t ^ 2/2 + t ^ 3/3 + t ^ 4/4 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) #

الغاء خارج # ر # المصطلح في المقام:

# = -1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1) #

والآن ، نحن نأخذ المكاملة المحددة التي بدأنا بها المشكلة مع:

# int_0 ^ x (-1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1)) دينارا #

ملحوظة: لاحظ كيف أننا الآن لا داعي للقلق بشأن القسمة على الصفر في هذه المشكلة ، وهي مشكلة كانت لدينا في integrand الأصلي بسبب # ر # المصطلح في المقام. نظر ا لأن هذا قد تم إلغاؤه في الخطوة السابقة ، فإنه يدل على أن التوقف غير قابل للإزالة ، وهو أمر جيد بالنسبة لنا.

# = -1 / (ln (10)) t + t ^ 2/4 + t ^ 3/9 + t ^ 4/16 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 # تقييم من #0# إلى # # س

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 - 0 #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 #

تأكد من أنك تدرك أن هذه السلسلة جيدة فقط على الفاصل الزمني #(1, 1#، نظر ا لأن سلسلة MacLaurin التي استخدمناها أعلاه تتقارب فقط في هذا الفاصل الزمني. تحقق من هذا الرسم البياني الذي أدليت به للحصول على فكرة أفضل عن ما يبدو هذا.

نأمل أن ساعد:)