السؤال # 69 فبراير

إجابة:

خط اعتيادي: # ص = (س-2-ه ^ 4) / ه ^ 2 #. خط الظل: #y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

تفسير:

للحدس: تخيل أن الوظيفة #f (x، y) = e ^ x ln (y) - xy # يصف ارتفاع بعض التضاريس ، حيث # # س و # ذ # هي إحداثيات في الطائرة و #ln (ص) # يفترض أن يكون اللوغاريتم الطبيعي. ثم كل # (س، ص) # مثل ذلك # F (س، ص) = أ # (الارتفاع) يساوي بعض الثابت #ا# وتسمى منحنيات المستوى. في حالتنا ارتفاع ثابت #ا# هو الصفر ، منذ ذلك الحين # F (س، ص) = 0 #.

قد تكون معتاد ا على الخرائط الطبوغرافية التي تشير فيها الخطوط المغلقة إلى خطوط متساوية الارتفاع.

الآن التدرج #grad f (x، y) = ((جزئي f) / (جزئي x) ، (جزئي f) / (جزئي x)) = (e ^ x ln (y) - y ، e ^ x / y - x) # يعطينا الاتجاه في نقطة ما # (س، ص) # بحيث # F (X، Y) # (الارتفاع) يتغير الأسرع. هذا إما مستقيم أعلى أو مستقيم أسفل التل ، طالما أن تضاريسنا سلسة (قابلة للتمييز) ، ونحن لسنا على قمة ، في أسفل أو على هضبة (نقطة أقصى). هذا هو في الواقع الاتجاه الطبيعي لمنحنى ارتفاع ثابت ، بحيث في # (س، ص) = (2، ه ^ 2) #:

#grad f (2، e ^ 2) = (e ^ 2 ln (e ^ 2) - e ^ 2، e ^ 2 / e ^ 2 - 2) = (e ^ 2، -1) #.

لذلك ، فإن خط اعتيادي في هذا الاتجاه يمر # (2، ه ^ 2) # يمكن وصفها بأنها

# (x، y) = (2، e ^ 2) + s (e ^ 2، -1) #, أين # s في mathbbR # هو معلمة حقيقية. يمكنك القضاء عليها # ق # للتعبير # ذ # ك وضيفة من # # س إذا كنت تفضل ذلك

# ص = (س-2-ه ^ 4) / ه ^ 2 #.

يجب أن يكون مشتق الاتجاه في اتجاه الظل #0# (وهذا يعني أن الارتفاع لا يتغير) ، لذلك ناقلات الظل # (ش، ت) # يجب أن ترضي

#grad f (2، e ^ 2) cdot (u، v) = 0 #

# (e ^ 2، -1) cdot (u، v) = 0 #

# e ^ 2u - v = 0 #

# ت = ه ^ 2U #, أين # # cdot يعني المنتج نقطة. وبالتالي # (u، v) = (1، e ^ 2) # هو خيار واحد صالح. لذلك ، فإن خط الظل يعبر من خلال # (2، ه ^ 2) # يمكن وصفها بأنها

# (x، y) = (2، e ^ 2) + t (1، e ^ 2) #, #t في mathbbR #.

حل ل # ذ # يعطي ذلك

#y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

يجب عليك أخيرا التحقق من ذلك # (2، ه ^ 2) # يكمن على المنحنى # F (X، Y) #، على خط الظل ، وعلى الخط الطبيعي.