ما هو مشتق f (x) = csc ^ -1 (x)؟

# dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

معالجة:

1.) #y = "arccsc" (x) #

أولا ، سنقوم بإعادة كتابة المعادلة بشكل يسهل التعامل معه.

خذ قاطع التمام من كلا الجانبين:

2.) #csc y = x #

أعد الكتابة من حيث الجيب:

3.) # 1 / siny = x #

حل ل # ذ #:

4.) # 1 = xsin y #

5.) # 1 / x = sin y #

6.) #y = arcsin (1 / x) #

الآن ، يجب أن يكون أخذ المشتق أسهل. إنها الآن مجرد مسألة سلسلة حكم.

نحن نعرف ذلك # d / dx arcsin alpha = 1 / sqrt (1 - alpha ^ 2) # (هناك دليل على هذه الهوية الموجودة هنا)

لذلك ، خذ مشتق الوظيفة الخارجية ، ثم اضرب بمشتق # 1 / س #:

7.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

مشتق من # 1 / س # هو نفس مشتق # ضعف ^ (- 1) #:

8.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * (-x ^ (- 2)) #

تبسيط 8. يعطينا:

9.) # dy / dx = -1 / (x ^ 2 * sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

لجعل البيان أجمل قليلا ، يمكننا أن نجلب مربع # س ^ 2 # داخل الراديكالي ، على الرغم من أن هذا ليس ضروري ا:

10.) # dy / dx = -1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2))))

تبسيط الغلة:

11.) # dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

وهناك جوابنا. تذكر أن مشكلات المشتقات التي تنطوي على وظائف علم حساب المثلثات العكسي هي في الغالب تمرين على معرفتك بهويات علم حساب المثلثات. استخدمها لتقسيم الوظيفة إلى نموذج يسهل تمييزه.