كيف تثبت أن السلسلة تتلاقى؟

إجابة:

تتلاقى من خلال اختبار المقارنة المباشرة.

تفسير:

يمكننا استخدام اختبار المقارنة المباشرة ، بقدر ما لدينا

#sum_ (ن = 1) ^ oocos (1 / ك) / (9K ^ 2) #، IE ، تبدأ السلسلة في وقت واحد.

لاستخدام اختبار المقارنة المباشرة ، يتعين علينا إثبات ذلك # a_k = كوس (1 / ك) / (9K ^ 2) # هو إيجابي على # 1، س س) #.

أولا ، لاحظ أن على الفاصل الزمني # 1 ، oo) ، cos (1 / k) # هو إيجابي. لقيم # ضعف # # cosx في الربع الأول (وبالتالي إيجابي). حسنا ، من أجل #k> = 1 ، 1 / ك وبالتالي، #cos (1 / ك) # هو في الواقع إيجابي.

علاوة على ذلك ، يمكننا أن نقول #cos (1 / ك) <= 1 #، مثل #lim_ (ك-> س س) جتا (1 / ك) = جتا (0) = 1 #.

بعد ذلك ، يمكننا تحديد تسلسل جديد

# b_k = 1 / (9K ^ 2) => a_k # للجميع #ك.#

حسنا،

#sum_ (ك = 1) ^ oo1 / (9K ^ 2) = 1 / 9sum_ (ك = 1) ^ oo1 / ك ^ 2 #

نحن نعرف هذا يتقارب من قبل # # P-اختبار سلسلة ، هو في النموذج # sum1 / ك ^ ص # أين # ع = 2> 1 #.

بعد ذلك ، بما أن السلسلة الأكبر تتقارب ، فيجب أن تتقارب السلسلة الأصغر.

إجابة:

تتقارب باختبار المقارنة المباشرة (انظر أدناه للحصول على التفاصيل).

تفسير:

ندرك أن نطاق جيب التمام هو -1،1. تحقق من الرسم البياني لل #cos (1 / س) #:

رسم بياني {cos (1 / x) -10، 10، -5، 5}

كما ترون ، و أقصى ستكون القيمة التي سيحققها هذا 1. لأننا نحاول فقط إثبات التقارب هنا ، فلنضبط البسط على 1 ، وترك:

# sum1 / (9K ^ 2) #

الآن ، هذا يصبح مشكلة اختبار المقارنة بسيطة للغاية. تذكر ما يفعله اختبار المقارنة المباشرة:

النظر في سلسلة التعسفي # # a_n (لا نعرف ما إذا كان التقارب / التباعد) ، وسلسلة نعرف عنها التقارب / التباعد ، # # b_n:

إذا #b_n> a_n # و # # b_n يتقارب ، إذن # # a_n يتقارب أيضا.

إذا #b_n <a_n # و # # b_n يحيد ، إذن # # a_n يحيد أيضا.

يمكننا مقارنة هذه الوظيفة #b_n = 1 / k ^ 2 #. يمكننا القيام بذلك لأننا نعرف أنه يتقارب (بسبب اختبار p).

منذ ذلك الحين # 1 / k ^ 2> 1 / (9k ^ 2) #و # 1 / ك ^ 2 # يتقارب ، يمكننا أن نقول أن سلسلة تتلاقى

لكن ، انتظر ، لقد أثبتنا فقط أن هذه السلسلة تتقارب عندما يكون البسط = 1. ماذا عن جميع القيم الأخرى #cos (1 / ك) # يمكن أن تأخذ؟ حسنا ، تذكر أن 1 هو أقصى القيمة التي يمكن أن يأخذ البسط. لذا ، بما أننا أثبتنا أن هذا التقارب ، فقد أثبتنا بشكل غير مباشر أن هذه السلسلة قد تقاربت من أجل أي قيمة في البسط.

نأمل أن ساعد:)