إجابة:
# x = arctan (-3) + 180 ^ circ k أو x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k quad # لالعدد الصحيح #ك.#
تفسير:
لقد نجحت في ذلك بطريقتين مختلفتين ولكن أعتقد أن هذه الطريقة الثالثة هي الأفضل. هناك العديد من الصيغ زاوية مزدوجة لجيب التمام. دعنا لا نحاول إغراء أي منهم. دعونا تجنب تربيع المعادلات كذلك.
#cos 2x + 2 sin 2x + 2 = 0 #
#cos 2x + 2 sin 2x = -2 #
مزيج خطي من جيب التمام وجيب التمام مرحلة تحول جيب التمام.
سمح # r = sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2} # و
# theta = text {Arc} text {tan} (2/1) #
أشرت إلى المماس معكوس الرئيسي ، هنا في الربع الأول ، حولها # ثيتا = 63.4 ^ CIRC #. نحن متأكدون
#r cos theta = sqrt {5} (1 / sqrt {5}) = 1 #
# r sin theta = sqrt {5} (2 / sqrt {5}) = 2 #
حتى نتمكن من إعادة كتابة المعادلة لدينا
#sqrt {5} ((1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x) = -2 #
# (1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x = -2 / sqrt {5} #
# cos 2x cos theta + sin 2x sin theta = -2 / sqrt {5} #
#cos (2x - theta) = sin (-theta) #
#cos (2x - theta) = cos (90 ^ circ + theta) #
تذكر دائما الحل العام ل #cos x = cos a # هو # x = pm a + 360 ^ circ k quad # لالعدد الصحيح #ك#.
# 2x - theta = pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# 2x = theta pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# x = theta / 2 pm (45 ^ circ + theta / 2) + 180 ^ circ k #
أخذ العلامات واحد في وقت واحد ،
# x = theta + 45 ^ circ + 180 ^ circ k أو x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
#phi = theta + 45 ^ circ # هو ثابت يمكننا محاولة الحصول على تعبير أفضل عن:
#tan (phi) = tan (arctan (2) + 45 ^ circ) #
# = {tan arctan (2) + tan (45 ^ circ)} / {1- tan (arctan (2)) tan (45 ^ circ)} = {2 + 1} / {1 - 2} = -3 #
نعلم # # فاي في الربع الثاني ، وليس في النطاق المعتاد للقيمة الرئيسية.
#phi = text {Arc} text {tan} (- 3) + 180 ^ circ #
هذا لا يهم لأننا نضيف # 180 ^ circ k # إلى # # فاي في الحل العام على أي حال. ضع كل شيء معا،
# x = arctan (-3) + 180 ^ circ k أو x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
لا يتعين علينا أن نكون دقيقين بشأن القيمة الرئيسية للقطب الشمالي ؛ لأننا نضيف # 180 ^ circ k # أي قيمة ستفعل. يمكن أن نكتب الأول # س = ظل الزاوية القوسي (-3) # مع ال # 180 ^ circ k # ضمني ، ولكن دعونا نترك الأمر هنا.
